Considerando um sistema massa mola que pode ser descrito por um oscilador harmônico amortecido que satisfaz a seguinte equação diferencial: m a(t)+b v(t)+k x(t)=0, onde m é a massa do corpo preso a mola, k é a constante elástica da mola e b é a constante de amortecimento, marque a resposta errada.
a) Se b^2 /(4 m^2)>k / m teremos o caso do oscilador superamortecido;
b) No caso do oscilador criticamente amortecido o oscilador oscila com a frequência crítica que é igual a frequência do oscilador sem amortecimento omega^2=k / m;
c) Se b^2((4 m^2) teremos o caso do oscilador subamortecido;
d) Se b^2 /(4 m^2)=k / m teremos o caso do oscilador criticamente amortecido;
e) No caso do oscilador superamortecido o sistema ao ser deslocado e libertado, retorna para sua posição de equilíbrio sem oscilar.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola descrito por um oscilador harmônico amortecido, cuja equação diferencial é:
m a(t) + b v(t) + k x(t) = 0
Aqui, $ m $ é a massa, $ b $ é a constante de amortecimento, e $ k $ é a constante elástica da mola. A pergunta quer que a gente identifique qual das alternativas (a) a (e) está errada sobre os diferentes tipos de amortecimento no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como classificamos os tipos de amortecimento usando a equação diferencial acima. Dividindo toda a equação por $ m $, temos:
m
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cuja característica é:
a(t) + bm v(t) + km x(t) = 0
O discriminante dessa equação é:
r^2 + bm r + km = 0
Dependendo do valor de $ \Delta $, classificamos o sistema como:
  • Superamortecido se $ \Delta > 0 $
  • Criticamente amortecido se $ \Delta = 0 $
  • Subamortecido se $ \Delta < 0 $

Passo 3

Vamos analisar cada alternativa com base nesse discriminante.
Alternativa a):
b^24 m^2 > km
Multiplicando ambos os lados por $ 4m^2 $, temos:
4m^2
Isso corresponde a $ \Delta > 0 $, ou seja, o sistema é superamortecido. Então, a alternativa a está correta.
Alternativa b):
Afirma que no caso criticamente amortecido, a frequência crítica é igual à frequência do oscilador sem amortecimento $ \omega^2 = \frac{k}{m} $.
Na verdade, no crítico amortecido ($ \Delta = 0 $), o sistema não oscila. A frequência mencionada é a frequência natural sem amortecimento, mas no critico não há oscilações. Portanto, a alternativa b está errada.
Alternativa c):
b^2 > 4 m k
Isso implica $ \Delta < 0 $, ou seja, o sistema é subamortecido, que confere com a afirmação. Portanto, a alternativa c está correta.
Alternativa d):
De 0
Isto significa $ \Delta = 0 $, indicando um sistema criticamente amortecido, que confere com a afirmação. Logo, a alternativa d está correta.
Alternativa e):
No caso superamortecido, o sistema retorna à posição de equilíbrio sem oscilar, exatamente como descrito. Portanto, a alternativa e está correta.

Resposta

A alternativa b está errada.

Exercícios relacionados