O módulo da diferença entre dois vetores pode vir a ser maior do que (a) o módulo de um dos vetores, (b) os módulos dos dois vetores e (c) o módulo da sua soma?

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se o número |\mathbf{u}-\mathbf{v}| (o módulo da diferença de dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}) pode ser maior do que
(a) o módulo de um dos vetores (isto é, maior que |\mathbf{u}| ou maior que |\mathbf{v}|);
(b) os módulos dos dois vetores ao mesmo tempo (isto é, maior que |\mathbf{u}| e maior que |\mathbf{v}|);
(c) o módulo da soma dos vetores (isto é, maior que |\mathbf{u}+\mathbf{v}|).
Informações dadas (implícitas): temos apenas dois vetores quaisquer \mathbf{u} e \mathbf{v}. Não há restrição sobre direção ou comprimento além de serem vetores em algum espaço euclidiano (por exemplo \mathbb{R}^n).

Passo 2

Conceitos úteis que vamos usar (com explicação): a desigualdade triangular e a desigualdade triangular reversa.
Desigualdade triangular: para quaisquer vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} vale
|\mathbf{a}+\mathbf{b}|\le |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|.
O que isto diz, em palavras: o comprimento da soma nunca é maior que a soma dos comprimentos — é a versão vetorial da ideia de que juntar dois deslocamentos não pode dar mais “distância total” do que somar as distâncias.
Desigualdade triangular reversa: a partir da desigualdade triangular podemos obter
\big||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|\big|\le |\mathbf{a}-\mathbf{b}|.
Demonstração rápida e intuitiva (passo a passo): aplicando a desigualdade triangular a \mathbf{a}=(\mathbf{a}-\mathbf{b})+\mathbf{b} obtemos
|\mathbf{a}|\le |\mathbf{a}-\mathbf{b}|+|\mathbf{b}|.
Rearranjando dá |\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|\le |\mathbf{a}-\mathbf{b}|. Trocando \mathbf{a} por \mathbf{b} obtemos |\mathbf{b}|-|\mathbf{a}|\le |\mathbf{a}-\mathbf{b}|. Combinando as duas desigualdades vem a forma com módulo absoluto acima. Em palavras: a diferença de comprimentos não pode ser maior que o comprimento da diferença.
Também temos o limite superior óbvio
|\mathbf{a}-\mathbf{b}|\le |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|,
que vem da desigualdade triangular aplicando \mathbf{a} e -\mathbf{b}.

Passo 3

Consequências práticas dessas desigualdades para |\mathbf{u}-\mathbf{v}|:
  • Temos sempre o limite inferior
\big||\mathbf{u}|-|\mathbf{v}|\big|\le |\mathbf{u}-\mathbf{v}|.
Isto diz que |\mathbf{u}-\mathbf{v}| não pode ser menor que a diferença (em módulo) dos comprimentos de \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • E o limite superior
|\mathbf{u}-\mathbf{v}|\le |\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|.
Isto dá uma “janela” em que |\mathbf{u}-\mathbf{v}| pode variar: entre \big||\mathbf{u}|-|\mathbf{v}|\big| e |\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|.
Essas desigualdades nos contam o que é impossível e o que é possível; agora vamos ver exemplos concretos para cada item pedido.

Passo 4

Item (a): pode |\mathbf{u}-\mathbf{v}| ser maior que o módulo de um dos vetores (por exemplo maior que |\mathbf{u}|)?
Sim, pode. Intuição: se \mathbf{v} aponta quase na direção oposta a \mathbf{u} e tiver tamanho suficientemente grande em valor absoluto, então ao subtrair \mathbf{v} de \mathbf{u} (que é \mathbf{u}-\mathbf{v}) os comprimentos somam em vez de cancelarem, produzindo um vetor maior do que \mathbf{u}.
Exemplo concreto e cálculo passo a passo: escolha \mathbf{v}=-2\mathbf{u}. Então
\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}-(-2\mathbf{u})=3\mathbf{u}.
Tomando módulos,
|\mathbf{u}-\mathbf{v}|=|3\mathbf{u}|=3|\mathbf{u}|.
Assim |\mathbf{u}-\mathbf{v}|=3|\mathbf{u}|>|\mathbf{u}|. Logo (a) é possível.

Passo 5

Item (b): pode |\mathbf{u}-\mathbf{v}| ser maior que os módulos dos dois vetores ao mesmo tempo (isto é, maior que |\mathbf{u}| e maior que |\mathbf{v}|)?
Também sim — o mesmo exemplo do passo anterior já serve para mostrar isso. Com \mathbf{v}=-2\mathbf{u} temos |\mathbf{v}|=2|\mathbf{u}| e calculamos |\mathbf{u}-\mathbf{v}|=3|\mathbf{u}|. Comparando:
3|\mathbf{u}|>2|\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|
e
3|\mathbf{u}|>|\mathbf{u}|.
Portanto |\mathbf{u}-\mathbf{v}| é maior que ambos |\mathbf{u}| e |\mathbf{v}|. Intuitivamente: quando os vetores apontam em direções opostas e um deles é suficientemente grande, a diferença pode ser maior que cada um isoladamente.

Passo 6

Item (c): pode |\mathbf{u}-\mathbf{v}| ser maior que |\mathbf{u}+\mathbf{v}|?
Vamos obter uma condição clara. Trabalhamos com os quadrados dos módulos (mais fácil algebricamente). Calcule:
\begin{aligned} |\mathbf{u}-\mathbf{v}|^2-|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2 &= (\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{v}) - (\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})\\[4pt] &= \big(|\mathbf{u}|^2-2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+|\mathbf{v}|^2\big) - \big(|\mathbf{u}|^2+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+|\mathbf{v}|^2\big)\\[4pt] &= -4\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. \end{aligned}
Logo
|\mathbf{u}-\mathbf{v}|>|\mathbf{u}+\mathbf{v}|\iff |\mathbf{u}-\mathbf{v}|^2>|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2\iff -4\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}>0,
ou seja,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0.
Interpretação geométrica: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}<0 significa que o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é obtuso (maior que \,90^\circ). Em palavras: quando os vetores têm componentes com sinais “contrários” suficientes (apontam em direções, em média, opostas), a diferença pode ter módulo maior que a soma.
Portanto (c) também é possível sempre que \mathbf{u} e \mathbf{v} formem ângulo obtuso.]

Passo 7

Exemplo numérico simples para (c) (passo a passo): escolha vetores unidimensionais \mathbf{u}=(1) e \mathbf{v}=(-0,1). Então
\mathbf{u}-\mathbf{v}=(1)-(-0,1)=(1,1),
logo
|\mathbf{u}-\mathbf{v}|=1,1.
E
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1)+(-0,1)=(0,9),
logo
|\mathbf{u}+\mathbf{v}|=0,9.
Aqui claramente 1,1>0,9, ou seja |\mathbf{u}-\mathbf{v}|>|\mathbf{u}+\mathbf{v}|. (Isto corresponde ao caso em que \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-0,1<0.)

Passo 8

Resumo intuitivo final (para você lembrar rápido na prova):
  • Se \mathbf{v} aponta aproximadamente na mesma direção que \mathbf{u}, a diferença tende a ser menor; se aponta na direção oposta e tem tamanho grande, a diferença pode ser grande.
  • A desigualdade fundamental para comparar diferença e soma é a identidade com produto escalar: |\mathbf{u}-\mathbf{v}|^2-|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2=-4\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Use-a para decidir quando |\mathbf{u}-\mathbf{v}|>| \mathbf{u}+\mathbf{v}|.

Resposta

(a) Sim
(b) Sim
(c) Sim

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