Considerando o sistema em x, y, z
rlc 3 x+9 y+(k^2-1) z & =k+1 x+3 y+(1-k^2) z & =-k-1 3 x+11 y+(1-k^2) z & =-k-1
tenha
(a) Encontre a sua matriz ampliada.
(b) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada equivalente à matriz do ítem anterior.
(c) Para quais valores de k, esse sistema tem
(i) nenhuma solução?
(ii) uma única solução?
(iii) infinitas soluções?
Cuidado para não dividir por zero.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em
O conteúdo é eliminação de Gauss para obter forma escada da matriz ampliada e estudar existência e unicidade de soluções em função de (k].

Passo 2

A matriz ampliada do sistema é
[ccc|c 3 & 9 & k^2-1 & k+1 1 & 3 & 1-k^2 & -k-1 3 & 11 & 1-k^2 & -k-1 ]

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss (trocamos a linha 1 com a 2 e depois eliminamos):
&(i) troca L1rightarrow L2: &[ccc|c 1 & 3 & 1-k^2 & -k-1 3 & 9 & k^2-1 & k+1 3 & 11 & 1-k^2 & -k-1 ] longrightarrow l L2to L2-3L1, L3to L3-3L1 &[ccc|c 1 & 3 & 1-k^2 & -k-1 0 & 0 & 4(k^2-1) & 4(k+1) 0 & 2 & 2(k^2-1) & 2(k+1) ] longrightarrow l troca L2rightarrow L3, L2to12L2, L3to14L3 &[ccc|c 1 & 3 & 1-k^2 & -k-1 0 & 1 & k^2-1 & k+1 0 & 0 & k^2-1 & k+1 ] longrightarrow L1to L1-3L2 &[ccc|c 1 & 0 & 4(1-k^2) & -4(k+1) 0 & 1 & k^2-1 & k+1 0 & 0 & k^2-1 & k+1 ]
Esta é a forma escada reduzida da matriz ampliada.

Passo 4

Das equações finais temos
x + 4(1-k^2),z = -4(k+1), y + (k^2-1),z = k+1, (k^2-1),z = k+1
Se k^2-1neq0 (isto é, kneqpm1), da terceira equação ;z=k+1k^2-1 e daí y e x são determinados unicamente: existe uma única solução.
Se k^2-1=0, temos dois casos:
  • k=1: então k+1=2 e a equação (k^2-1)z= k+1 vira 0cdot z=2, impossível to nenhuma solução.
  • k=-1: então k+1=0 e a terceira equação é 0cdot z=0, ok; a segunda dá y=0; a primeira dá x=0 e z livre to infinitas soluções.

Resposta

(a) [ccc|c 3 & 9 & k^2-1 & k+1 1 & 3 & 1-k^2 & -k-1 3 & 11 & 1-k^2 & -k-1 ]
(b) [ccc|c 1 & 0 & 4(1-k^2) & -4(k+1) 0 & 1 & k^2-1 & k+1 0 & 0 & k^2-1 & k+1 ]
(c)(i) nenhuma solução para k=1.
(c)(ii) única solução para kneqpm1.
(c)(iii) infinitas soluções para k=-1.

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