Questão 2.Discuta e resolva os sistemas lineares seguintes utilizando escalonamento:
cx-y+z=1 2 x+y-z=0 3 x-2 y-z=2

Passo 1

O enunciado pede para discutir (verificar compatibilidade) e resolver o sistema
x - y + z = 1, 2x + y - z = 0, 3x - 2y - z = 2,
usando escalonamento (eliminação de Gauss).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
(ccc|c 1 & -1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 & 0 3 & -2 & -1 & 2 )
O objetivo é aplicar operações elementares para chegar à forma triangular superior.

Passo 3

Eliminamos o pivô da coluna 1 abaixo de R1 fazendo
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 3R1
Isso leva a
(ccc|c 1 & -1 & 1 & 1 0 & 3 & -3 & -2 0 & 1 & -4 & -1 )

Passo 4

Eliminamos o termo de y em R3 por
R3 R3 - tfrac13R2,
obtendo
(ccc|c 1 & -1 & 1 & 1 0 & 3 & -3 & -2 0 & 0 & -3 & -tfrac13 )
Há três pivôs não nulos (colunas 1, 2 e 3), logo o sistema é compatível determinado (solução única).

Passo 5

Fazemos substituição regressiva:
Da 3ª linha:
-3z = -tfrac13 Longrightarrow z = tfrac19
Da 2ª linha:
3y - 3z = -2 Longrightarrow 3y = -2 + 3cdottfrac19 = -tfrac53 Longrightarrow y = -tfrac59
Da 1ª linha:
x - y + z = 1 Longrightarrow x = 1 + y - z = 1 - tfrac59 - tfrac19 = tfrac13

Resposta

(x,y,z) = l(tfrac13, -tfrac59, tfrac19r).

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