Considerando que o Sol emita radiação com uma potência de 4 \times 10^{26} \mathrm{~W} e que está a uma distância de 150 milhões de km da Terra, calcule: (a) a intensidade da luz solar na proximidade da Terra; (b) as magnitudes do campo elétrico e magnético na proximidade da Terra. Um satélite em órbita em torno da Terra possui painéis coletores de energia solar com área total igual a 8 \mathrm{~m}^{2}. Sabendo que a radiação solar é perpendicular à superfície do painel e totalmente absorvida, calcule (c) a potência solar média absorvida e (d) a força média exercida pela pressão da radiação.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e nos dá os seguintes dados:
\text{Potência total do Sol: } P=4\times10^{26}\\ \mathrm{W}ê
\text{Distância Sol–Terra: } r=150\\ \text{milhões de km}=1{,}50\times10^{11}\\ \mathrm{m}âõ
\text{Área dos painéis do satélite: } A=8\\ \mathrm{m^{2}}Áéé
Perguntas:
(a) Calcular a intensidade (irradiância) da luz solar na proximidade da Terra.
(b) Calcular as magnitudes dos campos elétrico e magnético associados à radiação solar na proximidade da Terra.
(c) Calcular a potência média absorvida pelos painéis (radiação perpendicular e totalmente absorvida).
(d) Calcular a força média sobre os painéis devido à pressão de radiação (totalmente absorvida).

Passo 2

Conceito e fórmula da intensidade: a intensidade (irradiância) I a uma distância r de uma fonte isotrópica de potência P é a potência por unidade de área sobre a superfície de uma esfera de raio r:
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}
Aqui P está em \mathrm{W}, r em \mathrm{m}, e I resultará em \mathrm{W\,m^{-2}}.
Cálculo passo a passo:
r^{2}=(1{,}50\times10^{11})^{2}=2{,}25\times10^{22}\\ \mathrm{m^{2}}
4\pi r^{2}=4\pi\,(2{,}25\times10^{22})=9\pi\times10^{22}
I=\frac{4\times10^{26}}{9\pi\times10^{22}}=\frac{4}{9\pi}\times10^{4}
Avaliação numérica:
\frac{4}{9\pi}\approx0{,}14147\quad\Rightarrow\quad I\approx0{,}14147\times10^{4}=1{,}4147\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
Então, arredondando de forma prática,
I\approx1{,}41\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 3

Ligação entre intensidade e campos elétrico e magnético: para uma onda eletromagnética plana no vácuo a intensidade média (valor médio da intensidade — Poynting médio) relaciona-se com o campo elétrico RMS por
\langle S\rangle = I = \varepsilon_{0} c E_{\mathrm{rms}}^{2}
onde
\varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F\,m^{-1}}),
c é a velocidade da luz ( c\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}),
e E_{\mathrm{rms}} é o valor RMS do campo elétrico. Explicação rápida: o vetor de Poynting \vec{S}=\vec{E}\times\vec{H} dá fluxo de potência por área; para ondas no vácuo isso leva à expressão acima.
Resolvendo para E_{\mathrm{rms}}:
E_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{I}{\varepsilon_{0} c}}
Cálculo numérico:
\varepsilon_{0} c \approx(8{,}85\times10^{-12})(3{,}00\times10^{8})=2{,}655\times10^{-3}
\frac{I}{\varepsilon_{0} c}=\frac{1{,}4147\times10^{3}}{2{,}655\times10^{-3}}\approx5{,}3315\times10^{5}
E_{\mathrm{rms}}=\sqrt{5{,}3315\times10^{5}}\approx7{,}30\times10^{2}\\ \mathrm{V\,m^{-1}}
Relação com o campo magnético: para uma onda eletromagnética no vácuo a magnitude RMS do campo magnético satisfaz
B_{\mathrm{rms}}=\frac{E_{\mathrm{rms}}}{c}
Cálculo numérico:
B_{\mathrm{rms}}=\frac{7{,}30\times10^{2}}{3{,}00\times10^{8}}\approx2{,}43\times10^{-6}\\ \mathrm{T}
Observação sobre amplitudes: alguns livros perguntam pelo valor de pico (amplitude) E_{0}. A relação entre RMS e amplitude é E_{\mathrm{rms}}=E_{0}/\sqrt{2}. Assim,
E_{0}= \sqrt{2}\,E_{\mathrm{rms}}\approx1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{V\,m^{-1}}
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}\approx3{,}44\times10^{-6}\\ \mathrm{T}
Mas, se for pedido simplesmente “magnitudes” em contexto de intensidade média, os valores RMS são os mais usados.

Passo 4

Potência média absorvida pelos painéis: se a radiação é perpendicular à superfície e totalmente absorvida, a potência absorvida P_{\mathrm{abs}} é simplesmente o produto da intensidade pela área:
P_{\mathrm{abs}}=I\cdot A
Cálculo:
P_{\mathrm{abs}}=(1{,}4147\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}})(8\\ \mathrm{m^{2}})=1{,}1318\times10^{4}\\ \mathrm{W}
Arredondando,
P_{\mathrm{abs}}\approx1{,}13\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Força média devido à pressão de radiação: a pressão de radiação p para radiação totalmente absorvida é
p=\frac{I}{c}
(para reflexão perfeita seria p=2I/c). A força sobre a área A é
F=pA=\frac{I\,A}{c}
Cálculo passo a passo:
p=\frac{1{,}4147\times10^{3}}{3{,}00\times10^{8}}\approx4{,}7157\times10^{-6}\\ \mathrm{N\,m^{-2}}
F=(4{,}7157\times10^{-6}\\ \mathrm{N\,m^{-2}})(8\\ \mathrm{m^{2}})=3{,}7726\times10^{-5}\\ \mathrm{N}
Arredondando,
F\approx3{,}77\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) I\approx1{,}41\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
(b) E_{\mathrm{rms}}\approx7{,}30\times10^{2}\\ \mathrm{V\,m^{-1}},\quad B_{\mathrm{rms}}\approx2{,}43\times10^{-6}\\ \mathrm{T} (valores de pico: E_{0}\approx1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{V\,m^{-1}},\;B_{0}\approx3{,}44\times10^{-6}\\ \mathrm{T})
(c) P_{\mathrm{abs}}\approx1{,}13\times10^{4}\\ \mathrm{W}
(d) F\approx3{,}77\times10^{-5}\\ \mathrm{N}

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