Você lança uma bola de beisebol verticalmente para cima e ela atinge uma altura máxima muito maior que sua altura. O módulo da aceleração é maior enquanto ela está sendo lançada ou logo depois que ela deixa a sua mão? Explique.
Q2.16 Prove as seguintes afirmações: (a) desprezando os efeitos do ar, quando você lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento tanto durante a ascensão quanto durante a queda. (b) O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima.
Q2.16 Prove as seguintes afirmações: (a) desprezando os efeitos do ar, quando você lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento tanto durante a ascensão quanto durante a queda. (b) O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (resumido e claro):
-
Questão 1: Você lança uma bola de beisebol verticalmente para cima. A altura máxima é muito maior que sua altura. Pergunta: o módulo da aceleração é maior enquanto a bola está sendo lançada (isto é, enquanto ainda está na sua mão) ou logo depois que ela deixa a sua mão? Explique.
-
Questão 2 (Q2.16), com duas partes:
(a) Desprezando efeitos do ar, provar que quando você lança um objeto verticalmente para cima, ele tem a mesma velocidade (em módulo) no ponto de lançamento tanto na subida quanto na descida.
(b) Provar que o tempo total da trajetória é o dobro do tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima.
Informações importantes dadas / hipóteses que vamos usar:
- O lançamento é vertical (movimento unidimensional para cima/para baixo).
- Para Q2, explicitamente desprezamos resistência do ar; portanto, a única aceleração após a bola deixar a mão é a aceleração da gravidade.
- Denotarei massa da bola por
, aceleração da gravidade por (valor positivo aproximado ), força que sua mão aplica na bola por . - Não resolvemos ainda; apenas organizei o que se pede e quais quantidades usarei.
Passo 2
Conceitos básicos necessários (explicação passo a passo e intuitiva):
- Forças e aceleração: a lei de Newton que usamos é
onde
é a soma das forças sobre o objeto,
é a massa e
é a aceleração. Isso significa: se várias forças agem sobre a bola, o que sobra (força resultante) determina quanto e em que direção a velocidade vai mudar.
- Durante o contato com sua mão, existem pelo menos duas forças importantes:
- o peso
apontando para baixo; - a força da mão
apontando para cima enquanto você empurra/lança.
Logo a resultante (tomando para cima como sentido positivo) é
- o peso
Aplicando
obtemos a aceleração enquanto a bola está na mão:
- Depois que a bola deixa sua mão, a mão não empurra mais; desprezando o ar, a única força é o peso; portanto a aceleração é
(todos os sinais e orientações dependem da convenção; aqui usamos positivo para cima, então a aceleração é
durante a queda).
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao comparar os módulos das acelerações:
- Módulo da aceleração enquanto está na mão (assumindo que a mão acelera a bola para cima, ou seja,
) é
- Módulo da aceleração logo depois de soltar é
- Para comparar, escrevemos a desigualdade correspondente:
Multiplicando por
e rearranjando,
Passo 4
Interpretação física e conclusão para a Questão 1 (explicação didática):
- A desigualdade anterior mostra qual é a condição necessária para que o módulo da aceleração durante o contato com a mão seja maior que o módulo da aceleração após a liberação: é preciso que a força da mão exceda duas vezes o peso da bola (
). - Na prática, quando você lança uma bola de beisebol com força, sua mão exerce uma força bem maior do que o peso da bola (a massa da bola é pequena, então
é pequeno), portanto normalmente será muito maior que . Assim, na prática do lançamento a aceleração enquanto você empurra a bola é tipicamente maior (em módulo) do que a aceleração depois de soltar, que é simplesmente . - Observação importante: se você apenas segurasse a bola e a soltasse suavemente (sem empurrar), então
poderia ser apenas igual a ou menor, e então a aceleração enquanto ainda a segura não seria maior que . Mas num lançamento típico (onde você acelera a bola para cima), a aceleração dentro da mão é maior. - Intuição: dentro da mão você adiciona uma força extra além de contra-balançar o peso; depois de solta, perde esse “empurrão extra” e só sobra a gravidade.
Passo 5
Começando a prova para Q2(a): igualdade dos módulos das velocidades no mesmo nível
- Vamos usar a equação cinemática que é válida para aceleração constante (aqui a aceleração é constante e igual a
quando a bola está em voo livre). A equação que relaciona velocidade e deslocamento é
onde:
-
é a velocidade inicial (no ponto de lançamento, positiva se para cima), -
é a velocidade no tempo que queremos analisar, -
é a aceleração constante (aqui durante todo o voo livre), -
é o deslocamento vertical entre os dois pontos considerados. -
Esta fórmula pode ser obtida eliminando o tempo entre
e , mas não precisamos rederivá-la aqui; aceite que ela é a forma que relaciona velocidades e deslocamentos sem o tempo.
Passo 6
Aplicação da fórmula para mostrar a igualdade de velocidades em módulo no ponto de lançamento
- Tome como ponto de lançamento
e velocidade inicial nesse ponto (positiva, para cima). Desejamos a velocidade quando a bola volta a passar por na descida. Então . - Substituindo em
com
e
, fica
- Logo
implica . Ou seja, a velocidade ao passar pelo mesmo nível tem o mesmo módulo. Na subida a velocidade é (para cima), na descida é (para baixo): mesma grandeza, sentido oposto. - Intuição: energia cinética transformou-se em energia potencial na subida e reconverteu-se na descida, e sem perda (sem ar) você recupera a mesma velocidade ao voltar ao mesmo ponto.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional mas didático):
- Suponha que
para cima. A bola sobe, para e desce. Ao voltar ao ponto de lançamento, pela relação acima temos (mas agora a velocidade aponta para baixo). Isso é exatamente o que a fórmula mostrou.
Passo 8
Prova da Q2(b): relação entre tempo total e tempo até a altura máxima
- Primeiro, tempo para atingir a altura máxima. No topo da trajetória a velocidade instantânea é zero. Use
Tomando
e exigindo
no topo,
Aqui
é o tempo desde o lançamento até o instante em que a velocidade é zero.
- Agora, tempo total da trajetória até retornar ao ponto de lançamento. A posição vertical em função do tempo é
Queremos o tempo
tal que
(retorno ao nível de lançamento). Substituindo
obtemos
Cancelando
dos dois lados,
Fatorando
,
As duas soluções são
(o instante inicial) e
Portanto o tempo total de subida + descida é
- Comparando com
, obtemos
Passo 9
Intuição física e simetria (concretizando o aprendizado para a prova):
- Com aceleração constante e sem resistência, a subida e a descida são simétricas no tempo: o perfil da velocidade em função do tempo é uma linha reta que cruza zero no topo; o tempo para ir de
a é o mesmo que levará para ir de a . Portanto o tempo total é o dobro do tempo até o topo. - Isso também combina com a análise das equações: as raízes da equação da posição formam tempo inicial
e tempo final .
Resposta
Questão 1: O módulo da aceleração é, em geral, maior enquanto a bola está sendo lançada (na sua mão), porque sua mão aplica uma força adicional para cima além do peso; após a liberação a única aceleração é a da gravidade
.\n
Q2(a): Desprezando o ar, a velocidade tem o mesmo módulo no ponto de lançamento tanto na subida quanto na descida: . \n
Q2(b): O tempo total da trajetória é , que é exatamente o dobro do tempo até a altura máxima
, logo
.
Q2(a): Desprezando o ar, a velocidade tem o mesmo módulo no ponto de lançamento tanto na subida quanto na descida:
Q2(b): O tempo total da trajetória é