Você lança uma bola de beisebol verticalmente para cima e ela atinge uma altura máxima muito maior que sua altura. O módulo da aceleração é maior enquanto ela está sendo lançada ou logo depois que ela deixa a sua mão? Explique.
Q2.16 Prove as seguintes afirmações: (a) desprezando os efeitos do ar, quando você lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento tanto durante a ascensão quanto durante a queda. (b) O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (resumido e claro):
  • Questão 1: Você lança uma bola de beisebol verticalmente para cima. A altura máxima é muito maior que sua altura. Pergunta: o módulo da aceleração é maior enquanto a bola está sendo lançada (isto é, enquanto ainda está na sua mão) ou logo depois que ela deixa a sua mão? Explique.
  • Questão 2 (Q2.16), com duas partes:
    (a) Desprezando efeitos do ar, provar que quando você lança um objeto verticalmente para cima, ele tem a mesma velocidade (em módulo) no ponto de lançamento tanto na subida quanto na descida.
    (b) Provar que o tempo total da trajetória é o dobro do tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima.
Informações importantes dadas / hipóteses que vamos usar:
  • O lançamento é vertical (movimento unidimensional para cima/para baixo).
  • Para Q2, explicitamente desprezamos resistência do ar; portanto, a única aceleração após a bola deixar a mão é a aceleração da gravidade.
  • Denotarei massa da bola por \;m\;, aceleração da gravidade por \;g\; (valor positivo aproximado \;9{,}8\\ \text{m/s}^2\;), força que sua mão aplica na bola por \;F_{\text{mão}}\;ã.
  • Não resolvemos ainda; apenas organizei o que se pede e quais quantidades usarei.

Passo 2

Conceitos básicos necessários (explicação passo a passo e intuitiva):
  • Forças e aceleração: a lei de Newton que usamos é
\sum F = ma,
onde \sum F é a soma das forças sobre o objeto, m é a massa e a é a aceleração. Isso significa: se várias forças agem sobre a bola, o que sobra (força resultante) determina quanto e em que direção a velocidade vai mudar.
  • Durante o contato com sua mão, existem pelo menos duas forças importantes:
    1. o peso \;mg\; apontando para baixo;
    2. a força da mão \;F_{\text{mão}}\;ã apontando para cima enquanto você empurra/lança.
      Logo a resultante (tomando para cima como sentido positivo) é
\sum F = F_{\text{mão}} - mg.ã
Aplicando \sum F = ma obtemos a aceleração enquanto a bola está na mão:
a_{\text{mão}} = \frac{F_{\text{mão}} - mg}{m}.ãã
  • Depois que a bola deixa sua mão, a mão não empurra mais; desprezando o ar, a única força é o peso; portanto a aceleração é
a_{\text{solta}} = -g
(todos os sinais e orientações dependem da convenção; aqui usamos positivo para cima, então a aceleração é -g durante a queda).

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao comparar os módulos das acelerações:
  • Módulo da aceleração enquanto está na mão (assumindo que a mão acelera a bola para cima, ou seja, F_{\text{mão}}>mgã) é
|a_{\text{mão}}| = \frac{F_{\text{mão}} - mg}{m}.ãã
  • Módulo da aceleração logo depois de soltar é
|a_{\text{solta}}| = g.
  • Para comparar, escrevemos a desigualdade correspondente:
|a_{\text{mão}}| > |a_{\text{solta}}| \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{F_{\text{mão}} - mg}{m} > g.ãã
Multiplicando por m e rearranjando,
F_{\text{mão}} > 2\,mg.ã

Passo 4

Interpretação física e conclusão para a Questão 1 (explicação didática):
  • A desigualdade anterior mostra qual é a condição necessária para que o módulo da aceleração durante o contato com a mão seja maior que o módulo da aceleração após a liberação: é preciso que a força da mão exceda duas vezes o peso da bola ( F_{\text{mão}} > 2\,mgã).
  • Na prática, quando você lança uma bola de beisebol com força, sua mão exerce uma força bem maior do que o peso da bola (a massa da bola é pequena, então mg é pequeno), portanto normalmente F_{\text{mão}}ã será muito maior que 2mg. Assim, na prática do lançamento a aceleração enquanto você empurra a bola é tipicamente maior (em módulo) do que a aceleração depois de soltar, que é simplesmente g.
  • Observação importante: se você apenas segurasse a bola e a soltasse suavemente (sem empurrar), então F_{\text{mão}}ã poderia ser apenas igual a mg ou menor, e então a aceleração enquanto ainda a segura não seria maior que g. Mas num lançamento típico (onde você acelera a bola para cima), a aceleração dentro da mão é maior.
  • Intuição: dentro da mão você adiciona uma força extra além de contra-balançar o peso; depois de solta, perde esse “empurrão extra” e só sobra a gravidade.

Passo 5

Começando a prova para Q2(a): igualdade dos módulos das velocidades no mesmo nível
  • Vamos usar a equação cinemática que é válida para aceleração constante (aqui a aceleração é constante e igual a -g quando a bola está em voo livre). A equação que relaciona velocidade e deslocamento é
v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y,
onde:
  • \;v_0\; é a velocidade inicial (no ponto de lançamento, positiva se para cima),
  • \;v\; é a velocidade no tempo que queremos analisar,
  • \;a\; é a aceleração constante (aqui -g durante todo o voo livre),
  • \;\Delta y = y - y_0\; é o deslocamento vertical entre os dois pontos considerados.
  • Esta fórmula pode ser obtida eliminando o tempo entre \;v = v_0 + at\; e \;y = y_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2, mas não precisamos rederivá-la aqui; aceite que ela é a forma que relaciona velocidades e deslocamentos sem o tempo.

Passo 6

Aplicação da fórmula para mostrar a igualdade de velocidades em módulo no ponto de lançamento
  • Tome como ponto de lançamento y_0 e velocidade inicial nesse ponto \;v_0\; (positiva, para cima). Desejamos a velocidade \;v\; quando a bola volta a passar por y=y_0 na descida. Então \;\Delta y = y-y_0 = 0.
  • Substituindo em
v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y
com \Delta y=0 e a=-g, fica
v^2 = v_0^2 + 2(-g)\cdot 0 = v_0^2.
  • Logo v^2 = v_0^2 implica |v| = |v_0|. Ou seja, a velocidade ao passar pelo mesmo nível tem o mesmo módulo. Na subida a velocidade é +|v_0| (para cima), na descida é -|v_0| (para baixo): mesma grandeza, sentido oposto.
  • Intuição: energia cinética transformou-se em energia potencial na subida e reconverteu-se na descida, e sem perda (sem ar) você recupera a mesma velocidade ao voltar ao mesmo ponto.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional mas didático):
  • Suponha que \;v_0 = 10\\ \text{m/s} para cima. A bola sobe, para e desce. Ao voltar ao ponto de lançamento, pela relação acima temos |v| = 10\\ \text{m/s} (mas agora a velocidade aponta para baixo). Isso é exatamente o que a fórmula mostrou.

Passo 8

Prova da Q2(b): relação entre tempo total e tempo até a altura máxima
  • Primeiro, tempo para atingir a altura máxima. No topo da trajetória a velocidade instantânea é zero. Use
v = v_0 + a t.
Tomando a=-g e exigindo v=0 no topo,
0 = v_0 - g t_{\text{top}} \quad\Longrightarrow\quad t_{\text{top}} = \frac{v_0}{g}.
Aqui \;t_{\text{top}}\; é o tempo desde o lançamento até o instante em que a velocidade é zero.
  • Agora, tempo total da trajetória até retornar ao ponto de lançamento. A posição vertical em função do tempo é
y(t) = y_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Queremos o tempo T tal que y(T)=y_0 (retorno ao nível de lançamento). Substituindo y(T)=y_0 obtemos
y_0 + v_0 T - \tfrac{1}{2} g T^2 = y_0.
Cancelando y_0 dos dois lados,
v_0 T - \tfrac{1}{2} g T^2 = 0.
Fatorando T,
T\left(v_0 - \tfrac{1}{2} g T\right) = 0.
As duas soluções são T=0 (o instante inicial) e
v_0 - \tfrac{1}{2} g T = 0 \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2 v_0}{g}.
Portanto o tempo total de subida + descida é
T = \frac{2 v_0}{g}.
  • Comparando com t_{\text{top}} = \dfrac{v_0}{g}, obtemos
T = 2\,t_{\text{top}}.

Passo 9

Intuição física e simetria (concretizando o aprendizado para a prova):
  • Com aceleração constante e sem resistência, a subida e a descida são simétricas no tempo: o perfil da velocidade em função do tempo é uma linha reta que cruza zero no topo; o tempo para ir de v_0 a 0 é o mesmo que levará para ir de 0 a -v_0. Portanto o tempo total é o dobro do tempo até o topo.
  • Isso também combina com a análise das equações: as raízes da equação da posição formam tempo inicial 0 e tempo final 2v_0/g.

Resposta

Questão 1: O módulo da aceleração é, em geral, maior enquanto a bola está sendo lançada (na sua mão), porque sua mão aplica uma força adicional para cima além do peso; após a liberação a única aceleração é a da gravidade g.\n
Q2(a): Desprezando o ar, a velocidade tem o mesmo módulo no ponto de lançamento tanto na subida quanto na descida: |v|=|v_0|. \n
Q2(b): O tempo total da trajetória é T=\dfrac{2v_0}{g}, que é exatamente o dobro do tempo até a altura máxima t_{\text{top}}=\dfrac{v_0}{g}, logo T=2\,t_{\text{top}}.

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