Considerando a solução particular dada em cada item, resolva as seguintes equações de Ricatti:
y^prime=-1x^2-yx+y^2 ; y1(x)=1x

Passo 1

A equação dada é
y' = -1x^2 - yx + y^2,
que é uma equação de Riccati da forma
y' = a(x) + b(x)y + c(x)y^2,
com
a(x)=-1x^2, b(x)=-1x, c(x)=1, \ne já conhecemos a solução particular
y1(x)=1x
Vamos usar essa solução para transformar o problema numa EDO linear.

Passo 2

Fazemos a substituição clássica para Riccati:
y = y1 + 1v = 1x + 1v
Derivando temos
y' = y1' - v'v^2,
e sabendo que y1 satisfaz a equação original, ao igualarmos as duas expressões chegamos à EDO linear em v:
v' + l(b(x)+2c(x)y1r)v = -c(x)
Substituindo os coeficientes dá
v' + 1x,v = -1

Passo 3

Resolvendo essa equação linear de primeira ordem:
O fator integrante é
mu(x)=e^integral1x,dx=x
Multiplicando por x obtemos
(xv)' = -x
Integrando:
xv = -x^22 + C
ou seja
v = -x2 + Cx,
com C constante de integração.

Passo 4

Agora voltamos à expressão de y:
y = 1x + 1v = 1x + 1-x2 + Cx
Colocando no mesmo denominador e simplificando, podemos reescrever com uma única constante arbitrária A=2C:
y(x) = 1x + 2xA - x^2

Resposta

y(x) = 1x + 2xA - x^2, AinR

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