Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções da EDO dada e determine a solução que satisfaz as condições iniciais.
l y^prime prime-y=0 y(0)=0, y^prime(0)=1, y1(x)=e^x, y2(x)=e^-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções y1(x)=e^x e y2(x)=e^-x são soluções da EDO y''-y=0 e, em seguida, determinar a combinação linear que satisfaça as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo é Equação Diferencial Ordinária linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e condições iniciais.

Passo 2

Verificar y1(x)=e^x: calcular y1'(x)=e^x e y1''(x)=e^x. Substituindo na EDO:
y1''-y1=e^x-e^x=0,
logo y1 satisfaz y''-y=0.

Passo 3

Verificar y2(x)=e^-x: calcular y2'(x)=-e^-x e y2''(x)=e^-x. Substituindo na EDO:
y2''-y2=e^-x-e^-x=0,
logo y2 também satisfaz y''-y=0.

Passo 4

Determinar a solução geral da EDO usando a equação característica r^2-1=0, cujas raízes são r=1 e r=-1. Assim,
y(x)=C1e^x+C2e^-x

Passo 5

Aplicar as condições iniciais em y(x)=C1e^x+C2e^-x e sua derivada y'(x)=C1e^x-C2e^-x. Para x=0 obtemos o sistema
C1+C2=0, C1-C2=1

Passo 6

Resolver o sistema: somando as duas equações dá 2C1=1 logo C1=tfrac12, e então C2=-tfrac12.
Substituindo em y(x)=C1e^x+C2e^-x resulta
y(x)=tfrac12e^x-tfrac12e^-x

Resposta

y(x)=tfrac12(e^x-e^-x)

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