Resolva as seguintes equações diferenciais:
e
(estudo da dinâmica populacional)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial do tipo crescimento logístico
com
e
. Vamos usar o método de variáveis separáveis e frações parciais para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro separamos as variáveis, escrevendo todos os termos em
de um lado e
do outro:
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos decomposição em frações parciais: procuramos constantes
e
tais que
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 4
Integrando cada termo:
Isso leva a
ou, agrupando logaritmos,
Passo 5
Elevando exponencial e isolando
, obtemos
onde
é constante arbitrária. Resolvendo para
dá
Resposta
A solução geral da equação logística é
com
constante de integração determinada pela condição inicial.