Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^prime=epsilon y-sigma y^2 ; epsilon>0 e sigma>0 (estudo da dinâmica populacional)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial do tipo crescimento logístico
y'=epsilon y-sigma y^2,
com epsilon>0 e sigma>0. Vamos usar o método de variáveis separáveis e frações parciais para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro separamos as variáveis, escrevendo todos os termos em y de um lado e t do outro:
dyy, (epsilon-sigma y)=dt

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos decomposição em frações parciais: procuramos constantes A e B tais que
1y(epsilon-sigma y)=Ay+Bepsilon-sigma y
Resolvendo, obtemos A=1/epsilon e B=sigma/epsilon.

Passo 4

Integrando cada termo:
integral1y(epsilon-sigma y),dy=integrall(1epsilon1y+sigmaepsilon1epsilon-sigma yr)dy=integral dt
Isso leva a
1epsilonln|y| - 1epsilonln|epsilon-sigma y|=t+C1
ou, agrupando logaritmos,
lnyepsilon-sigma y=epsilon t+C2

Passo 5

Elevando exponencial e isolando y, obtemos
yepsilon-sigma y=Ce^epsilon t,
onde C=e^C2 é constante arbitrária. Resolvendo para y
y(t)=epsilonsigma11+Ce^-epsilon t

Resposta

A solução geral da equação logística é
y(t)=epsilon/sigma1+Ce^-epsilon t,
com C constante de integração determinada pela condição inicial.

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