Nos itens seguintes, determine a região no plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade de Soluções são satisfeitas. (c) y^prime=ln |ty|1-t^2+y^2

Passo 1

Nesse exercício temos a equação diferencial
y'=ln|ty|1 - t^2 + y^2
O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade de Soluções (Picard–Lindelöf). Para aplicá-lo, precisamos que a função
f(t,y)=ln|ty|1 - t^2 + y^2
seja contínua em uma região ao redor do ponto inicial, e que sua derivada parcial partial f/partial y seja contínua também.

Passo 2

Para que f(t,y)=ln|ty|/(1 - t^2 + y^2) esteja bem definida e contínua, devemos garantir dois fatos:
  1. o argumento do logaritmo satisfaça |ty|>0, ou seja, tneq0 e yneq0;
  2. o denominador seja não nulo, isto é, 1 - t^2 + y^2 neq0.
    Assim o domínio natural de f é
[
D={(t,y):t\neq0,;y\neq0,;1 - t^2 + y^2 \neq0}.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a y. Usando a regra do quociente e que d(ln|ty|)/dy=1/y, obtemos
partial fpartial y =1y,(1 - t^2 + y^2) - 2yln|ty|(1 - t^2 + y^2)^2
Esse quociente também é contínuo desde que tneq0, yneq0 e 1 - t^2 + y^2neq0, sem introduzir novas singularidades.

Passo 4

Como ambas as condições (continuidade de f e de partial f/partial y) valem exatamente em
D=(t,y):tneq0,;yneq0,;1 - t^2 + y^2 neq0,
possuímos a garantia do Teorema de Existência e Unicidade em qualquer região aberta contida em D.

Resposta

A região (ou qualquer componente conexa dela) onde as hipóteses são satisfeitas é
D=(t,y)in R^2:tneq0,;yneq0,;1-t^2+y^2neq0

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