Nos itens seguintes, determine a região no plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade de Soluções são satisfeitas.
Passo 1
Nesse exercício temos a equação diferencial
O conteúdo é o Teorema de Existência e Unicidade de Soluções (Picard–Lindelöf). Para aplicá-lo, precisamos que a função
seja contínua em uma região ao redor do ponto inicial, e que sua derivada parcial
seja contínua também.
Passo 2
Para que
esteja bem definida e contínua, devemos garantir dois fatos:
- o argumento do logaritmo satisfaça
, ou seja, e ; - o denominador seja não nulo, isto é,
.
Assim o domínio natural deé
[
D={(t,y):t\neq0,;y\neq0,;1 - t^2 + y^2 \neq0}.
D={(t,y):t\neq0,;y\neq0,;1 - t^2 + y^2 \neq0}.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
. Usando a regra do quociente e que
, obtemos
Esse quociente também é contínuo desde que
,
e
, sem introduzir novas singularidades.
Passo 4
Como ambas as condições (continuidade de
e de
) valem exatamente em
possuímos a garantia do Teorema de Existência e Unicidade em qualquer região aberta contida em
.
Resposta
A região (ou qualquer componente conexa dela) onde as hipóteses são satisfeitas é