Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites \lim _{t \rightarrow-\infty} y(t) e \lim _{t \rightarrow \infty} y(t).
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os limites \displaystyle \lim_{t\to -\infty}y(t) e \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)
onde y é solução não–trivial da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8y' + 16y = 0.
O conteúdo necessário envolve: formação da equação característica, resolução dessa equação para obter as raízes, construção da solução geral e análise assintótica de cada termo.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y por e^{rt}:
r^2 - 8r + 16 = 0.
Resolvendo, reconhecemos uma raiz dupla, pois
r^2 - 8r + 16 = (r - 4)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 4 \text{ (multiplicidade 2).}

Passo 3

Para raiz dupla r=4, a solução geral é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)\,e^{4t},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. Como estamos considerando soluções não–triviais, pelo menos uma dessas constantes é não–nula.

Passo 4

Analisando o limite quando t\to -\infty:
tanto e^{4t} quanto t\,e^{4t} tendem a zero, pois a exponencial decai muito mais rápido que o crescimento (em módulo) de t. Logo, qualquer combinação linear não–trivial também tende a zero:
\lim_{t\to -\infty} y(t) = 0.

Passo 5

Analisando o limite quando t\to\infty\): - Se \(C_2\neq 0\), o termo dominante é \(C_2\,t\,e^{4t}\). Como \(t>0\) e \(e^{4t}\to\infty\), temos \[\lim_{t\to\infty}y(t)= \begin{cases} +\infty,& C_2>0,\\\\ -\infty,& C_2<0. \end{cases}
  • Se C_2=0\] mas \[C_1\neq0, então y(t)=C_1e^{4t} e
\lim_{t\to\infty}y(t)= \begin{cases} +\infty,& C_1>0,\\\\ -\infty,& C_1<0. \end{cases}
Em todos os casos não–triviais, (y(t)] diverge em módulo, não existindo limite finito.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to -\infty} y(t)=0. \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t) diverge para +\infty ou -\infty conforme o sinal de C_1 e C_2; não há limite finito.

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