Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os limites
e
onde é solução não–trivial da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
O conteúdo necessário envolve: formação da equação característica, resolução dessa equação para obter as raízes, construção da solução geral e análise assintótica de cada termo.
Passo 2
Formamos a equação característica trocando
por
:
Resolvendo, reconhecemos uma raiz dupla, pois
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Como estamos considerando soluções não–triviais, pelo menos uma dessas constantes é não–nula.
Passo 4
Analisando o limite quando
:
tanto quanto
tendem a zero, pois a exponencial decai muito mais rápido que o crescimento (em módulo) de
. Logo, qualquer combinação linear não–trivial também tende a zero:
tanto
Passo 5
Analisando o limite quando
- Se
, então
e
Em todos os casos não–triviais, (y(t)] diverge em módulo, não existindo limite finito.