Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites
e
.
.
Passo 1
O enunciado pede os limites de
quando
e
, onde
satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar o método da equação característica e depois estudar o comportamento assintótico da solução geral.
Passo 2
Formamos a equação característica associada a
:
Calculamos o discriminante:
ou seja, raízes complexas.
Passo 3
As raízes são
Para raízes da forma
, a solução geral é
Logo, aqui
com
e
constantes, não simultaneamente nulas (solução não-trivial).
Passo 4
Analisando
: o fator
cresce sem limite, enquanto
e
ficam entre
e
. Portanto, apesar das oscilações, a amplitude de
cresce exponencialmente. Não há limite finito; dizemos que
diverge oscilatoriamente quando
.
Passo 5
Analisando
: o fator
tende a zero e multiplica funções oscilatórias limitadas. Assim