Considerando as soluções não-triviais das equações abaixo, determine (quando possível) os limites \lim _{t \rightarrow-\infty} y(t) e \lim _{t \rightarrow \infty} y(t).
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0.

Passo 1

O enunciado pede os limites de y(t) quando t\to-\infty e t\to\infty, onde y satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 5y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica e depois estudar o comportamento assintótico da solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica associada a \;y'' - 2y' + 5y=0:
r^2 - 2r + 5 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4 - 20 = -16,
ou seja, raízes complexas.

Passo 3

As raízes são
r = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i.
Para raízes da forma a\pm bi, a solução geral é
y(t) = e^{at}\bigl(C_1\cos(bt) + C_2\sin(bt)\bigr).
Logo, aqui
y(t) = e^{t}\bigl(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)\bigr),
com C_1 e C_2 constantes, não simultaneamente nulas (solução não-trivial).

Passo 4

Analisando t\to\infty: o fator e^{t} cresce sem limite, enquanto \cos(2t) e \sin(2t) ficam entre -1 e 1. Portanto, apesar das oscilações, a amplitude de y(t) cresce exponencialmente. Não há limite finito; dizemos que y(t) diverge oscilatoriamente quando t\to\infty.

Passo 5

Analisando t\to -\infty: o fator e^{t} tende a zero e multiplica funções oscilatórias limitadas. Assim
\lim_{t\to -\infty} y(t) = 0.

Resposta

\displaystyle\lim_{t\to -\infty}y(t)=0. \displaystyle\lim_{t\to \infty}y(t) não existe (diverge oscilatoriamente).

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