Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja
O conteúdo aqui é reconhecer que, em ODEs lineares com solução em exponenciais, cada termo
corresponde a uma raiz
da equação característica.
Passo 2
Observamos que os expoentes das exponenciais são as raízes da equação característica. Aqui temos dois termos:
logo as raízes são
Passo 3
A partir dessas raízes, a equação característica é
Fazendo a expansão, obtemos
Passo 4
Para passar da equação característica para a equação diferencial, substituímos
por
e
por
, onde
. Assim a equação diferencial correspondente é
isto é,