Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:
y=c_{1} e^{-3 t}+c_{2} e^{5 t}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral seja
y = c_{1}e^{-3t} + c_{2}e^{5t}.
O conteúdo aqui é reconhecer que, em ODEs lineares com solução em exponenciais, cada termo e^{rt} corresponde a uma raiz r da equação característica.

Passo 2

Observamos que os expoentes das exponenciais são as raízes da equação característica. Aqui temos dois termos:
e^{-3t}\quad\text{e}\quad e^{5t},
logo as raízes são
r_{1} = -3 \quad\text{e}\quad r_{2} = 5.

Passo 3

A partir dessas raízes, a equação característica é
(r - r_{1})(r - r_{2}) = (r + 3)(r - 5) = 0.
Fazendo a expansão, obtemos
r^{2} - 2r - 15 = 0.

Passo 4

Para passar da equação característica para a equação diferencial, substituímos r^2 por D^2 e r por D, onde D = \dfrac{d}{dt}. Assim a equação diferencial correspondente é
D^{2}y - 2D y - 15y = 0,
isto é,
y'' - 2y' - 15y = 0.

Resposta

y'' - 2y' - 15y = 0.

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