(2,5 pontos) Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} variáveis aleatórias independentes com distribuição N\left(\mu, \sigma^{2}\right). Então a fgm de \frac{1}{n}\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right) é
(a) e^{\frac{a}{n} t+\frac{1}{2} a^{2} t^{2}}
(b) e^{\mu t+\frac{1}{2} n \sigma^{2} t^{2}}
(c) e^{\mu t+\frac{1}{2 n} \sigma^{2} t^{2}}
(d) e^{n} u t+\frac{1}{1} e^{2} t^{2}

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são i.i.d. \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}) e pede a fgm de
Y = \frac{1}{n}\bigl(X_{1}+\cdots+X_{n}\bigr).
O conteúdo aqui é usar a fgm de uma normal e as propriedades de fgm para soma de variáveis independentes e escalares.

Passo 2

Lembramos que, se Z\sim\mathcal{N}(m,v), então sua fgm é
M_{Z}(t)=\exp\Bigl(m\,t+\tfrac{1}{2}\,v\,t^{2}\Bigr).

Passo 3

Como X_{1},\dots,X_{n} são independentes, a soma
S = X_{1}+\cdots+X_{n}
é \mathcal{N}(n\mu,\;n\sigma^{2}). Logo
M_{S}(t)=\exp\Bigl(n\mu\,t+\tfrac{1}{2}\,n\sigma^{2}\,t^{2}\Bigr).

Passo 4

Para Y=\tfrac{1}{n}S usamos a propriedade
M_{aS}(t)=M_{S}(a\,t).
Aqui a=\tfrac{1}{n}, então
M_{Y}(t)=M_{S}\bigl(t/n\bigr) =\exp\!\Bigl(n\mu\,(t/n)+\tfrac{1}{2}\,n\sigma^{2}\,(t/n)^{2}\Bigr) =\exp\!\Bigl(\mu\,t+\tfrac{1}{2n}\,\sigma^{2}\,t^{2}\Bigr).

Resposta

(c) e^{\mu t+\frac{1}{2n}\sigma^{2}t^{2}}

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