Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+5 y=4 y^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y = 4y'.
O conteúdo aqui é a solução geral de equações homogêneas via equação característica.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão homogênea, reunindo todos os termos no mesmo lado:
y'' - 4y' + 5y = 0.

Passo 3

Assumimos solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo na equação padrão obtemos a equação característica
r^2 - 4r + 5 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16 - 20 = -4,
logo as raízes são complexas:
r = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm i.

Passo 4

Para raízes r=2\pm i, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

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