Considerando a sucessão de Fibonacci definida no exercício anterior, mostre que
Passo 1
O exercício pede para mostrar que o termo geral da sucessão de Fibonacci, definida por F₀=0, F₁=1 e F_n=F_{n−1}+F_{n−2}, pode ser expresso pela fórmula de Binet. Vamos usar o método de equação característica para resolver essa recorrência linear homogênea de segunda ordem.
Passo 2
A recorrência F_n=F_{n−1}+F_{n−2} leva à equação característica obtida ao assumir uma solução do tipo r^n. Substituindo na recorrência, temos:
r^n = r^{n−1} + r^{n−2} e dividindo por r^{n−2}, obtemos a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação
pelo fórmula de Bhaskara, as raízes são:
Passo 4
A solução geral da recorrência é uma combinação linear das potências dessas raízes. Logo,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Usando F₀=0, obtemos
⇒ B = -A. Usando F₁=1, temos:
Substituindo B=-A, vem
Como
, segue
e
Passo 6
Substituindo A e B na solução geral chega-se à fórmula de Binet: