Considerando a sucessão de Fibonacci definida no exercício anterior, mostre que
Fn=(1+raiz52)^n-(1-raiz52)^nraiz5

Passo 1

O exercício pede para mostrar que o termo geral da sucessão de Fibonacci, definida por F₀=0, F₁=1 e F_n=F_{n−1}+F_{n−2}, pode ser expresso pela fórmula de Binet. Vamos usar o método de equação característica para resolver essa recorrência linear homogênea de segunda ordem.

Passo 2

A recorrência F_n=F_{n−1}+F_{n−2} leva à equação característica obtida ao assumir uma solução do tipo r^n. Substituindo na recorrência, temos:
r^n = r^{n−1} + r^{n−2} e dividindo por r^{n−2}, obtemos a equação:
r^2 - r - 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação r^2 - r - 1 = 0 pelo fórmula de Bhaskara, as raízes são:
r1 = 1+raiz52, r2 = 1-raiz52

Passo 4

A solução geral da recorrência é uma combinação linear das potências dessas raízes. Logo,
Fn = A,r1^n + B,r2^n,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Usando F₀=0, obtemos A + B = 0 ⇒ B = -A. Usando F₁=1, temos:
A,r1 + B,r2 = 1
Substituindo B=-A, vem
A(r1 - r2) = 1.
Como r1 - r2 = raiz5, segue A = 1/raiz5 e B = -1/raiz5

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral chega-se à fórmula de Binet:

Resposta

Fn=l(tfrac1+raiz52r)^n-l(tfrac1-raiz52r)^nraiz5

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