Resolva a integral abaixo:
integral0^2 integral0^4-x^2 integral0^x sen(2 z)4-z d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral0^2 integral0^4 - x^2 integral0^x sin(2z)4 - z ,dy,dz,dx. O conteúdo principal envolve integrais iteradas e, possivelmente, troca de ordem de integração para simplificar.

Passo 2

Como o integrando sin(2z)4 - z não depende de y, fazemos primeiro integral0^x dy = x. Assim a tripla vira uma dupla: integral0^2integral0^4 - x^2 x,sin(2z)4 - z ,dz,dx

Passo 3

Para simplificar essa dupla, trocamos a ordem de integração. A região em (x,z) é definida por 0<= x<= 2 e 0<= z<= 4 - x^2. Invertendo, temos 0<= z<= 4 e, para cada z, 0<= x<= raiz4 - z. Assim a integral fica: integralz=0^4integralx=0^raiz4 - z x,dx;sin(2z)4 - z,dz

Passo 4

Calculamos integral0^raiz4 - z x,dx = 12l(raiz4 - zr)^2 = 12(4 - z). Substituindo, a dupla passa a ser: integral0^4 12(4 - z);sin(2z)4 - z ,dz = 12integral0^4 sin(2z),dz

Passo 5

Agora é uma integral simples: integral0^4 sin(2z),dz Usamos integral sin(2z),dz = -tfrac12cos(2z). Logo:
12integral0^4sin(2z),dz = 12l[-tfrac12cos(2z)r]0^4 = -14l(cos(8) - cos(0)r)

Resposta

1 - cos(8)4

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