Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r(r neq 1) e primeiro termo u1, é dada por u1 1-r^n1-r, qualquer que seja n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo u1 e razão rneq1 é dada por u1,(1-r^n)/(1-r). O conteúdo aqui é soma de série geométrica e vamos usar o truque de multiplicar a soma por r e subtrair para eliminar termos.

Passo 2

Vamos chamar de Sn a soma dos n primeiros termos. Assim temos a definição de série geométrica:
Sn = u1 + u1 r + u1 r^2 + cdots + u1 r^n-1

Passo 3

Para eliminar a maioria dos termos, multiplicamos essa mesma soma por r e escrevemos abaixo:
r Sn = u1 r + u1 r^2 + u1 r^3 + cdots + u1 r^n

Passo 4

Agora subtraímos a segunda igualdade da primeira, o que faz quase todos os termos cancelarem:
Sn - r Sn = (u1 + u1 r + cdots + u1 r^n-1) - (u1 r + u1 r^2 + cdots + u1 r^n)

Passo 5

Depois do cancelamento sobra apenas:
(1 - r)Sn = u1 - u1 r^n = u1(1 - r^n)

Passo 6

Basta agora isolar Sn dividindo por 1 - r, lembrando que rneq1:
Sn = u1(1 - r^n)1 - r

Passo 7

Essa fórmula vale para qualquer n>=1. Se fizermos n=1, temos S1 = u1,(1-r)/(1-r)=u1, conferindo o caso base.

Resposta

u11-r^n1-r

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