Mostre que a soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica de razão
e primeiro termo
, é dada por
, qualquer que seja
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
é dada por
. O conteúdo aqui é soma de série geométrica e vamos usar o truque de multiplicar a soma por
e subtrair para eliminar termos.
Passo 2
Vamos chamar de
a soma dos
primeiros termos. Assim temos a definição de série geométrica:
Passo 3
Para eliminar a maioria dos termos, multiplicamos essa mesma soma por
e escrevemos abaixo:
Passo 4
Agora subtraímos a segunda igualdade da primeira, o que faz quase todos os termos cancelarem:
Passo 5
Depois do cancelamento sobra apenas:
Passo 6
Basta agora isolar
dividindo por
, lembrando que
:
Passo 7
Essa fórmula vale para qualquer
. Se fizermos
, temos
, conferindo o caso base.