Find the volume of the given solid.
Under the surface z=2 x+y^2 and above the region bounded by x=y^2 and x=y^3

Passo 1

A questão pede o volume do sólido limitado pela superfície z=2x+y^2 acima da região R no plano xy determinada pelas curvas x=y^2 e x=y^3. O método é usar dupla integral de z sobre R. Vamos precisar achar primeiro os limites de R e depois montar e calcular a integral.

Passo 2

Para identificar a região R, igualamos as curvas: y^2 = y^3 implica y^2(y-1)=0, logo as interseções ocorrem em y=0 e y=1. Entre esses valores de y, observa-se que y^3 <= x <= y^2. Assim, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de y^3 até y^2.

Passo 3

Montamos então o volume como dupla integral:
V = integral duplaR (2x + y^2),dA = integraly=0^1 integralx=y^3^y^2 (2x + y^2),dx,dy

Passo 4

Agora integramos primeiro em x:
integraly^3^y^2 (2x + y^2),dx = l[x^2 + y^2xr]x=y^3^x=y^2 = l(y^4 + y^4r) - l(y^6 + y^5r) = 2y^4 - y^5 - y^6

Passo 5

Fica então uma integral em y:
V = integral0^1 l(2y^4 - y^5 - y^6r),dy = l[tfrac2y^55 - tfracy^66 - tfracy^77r]0^1 = tfrac25 - tfrac16 - tfrac17

Resposta

19210

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