Find the volume of the given solid.
Bounded by the cylinder x^2+y^2=1 and the planes y=z, x=0, z=0 in the first octant

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido definido por x²+y²≤1 (cilindro), x≥0, y≥0, z entre 0 e y (planos z=0 e y=z) no primeiro octante. O conteúdo é cálculo de volume por duplas integrais em coordenadas polares.

Passo 2

Escolhemos coordenadas polares com x=r cos θ, y=r sin θ. No primeiro octante, θ varia de 0 a π/2 e r de 0 a 1. A altura do sólido em cada ponto (x,y) é z_max−z_min = y−0 = y = r sin θ.

Passo 3

O volume é dado por V=integral duplaD (a Em coordenadas polares isso vira
V=integral0^pi/2integral0^1(r,sintheta);r,dr,dtheta=integral0^pi/2sintheta,dtheta;integral0^1r^2,dr

Passo 4

Calculamos separadamente: integral0^1r^2,dr=tfrac13, integral0^pi/2sintheta,dtheta=1 Portanto o volume é
V=1timestfrac13=tfrac13

Resposta

tfrac13

Exercícios relacionados