Find the volume of the given solid.
Bounded by the cylinder
and the planes
,
in the first octant
Bounded by the cylinder
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido definido por x²+y²≤1 (cilindro), x≥0, y≥0, z entre 0 e y (planos z=0 e y=z) no primeiro octante. O conteúdo é cálculo de volume por duplas integrais em coordenadas polares.
Passo 2
Escolhemos coordenadas polares com x=r cos θ, y=r sin θ. No primeiro octante, θ varia de 0 a π/2 e r de 0 a 1. A altura do sólido em cada ponto (x,y) é z_max−z_min = y−0 = y = r sin θ.
Passo 3
O volume é dado por
Em coordenadas polares isso vira
Passo 4
Calculamos separadamente:
Portanto o volume é