Considerando a teoria de pequenos deslocamentos mostre que a deformação é compatível para as componentes dos deslocamentos dadas por:
, onde
e
são constantes.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a deformação é compatível para as componentes dos deslocamentos dadas por
, onde
são constantes.
Informações fornecidas que vamos usar: as expressões explícitas de em termos de
.
Não vamos resolver nada aqui ainda — só deixei explícito o que é pedido e quais dados temos.
Informações fornecidas que vamos usar: as expressões explícitas de
Não vamos resolver nada aqui ainda — só deixei explícito o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Primeira coisa prática: lembrar a definição de tensores de pequena deformação (infinitesimal). Para deslocamentos
definimos o tensor de deformação
por
onde
. Aqui cada índice
.
Interpretação rápida: (sem soma) são as deformações normais ao longo das direções
e
com
são as deformações de cisalhamento — e a fórmula é média das derivadas cruzadas para garantir simetria.
Interpretação rápida:
Passo 3
Vamos calcular todas as derivadas parciais
. Como
são constantes e
etc., derivamos coordenada a coordenada:
Expliquei cada derivada: por exemplo
é derivada de
em relação a
, como
é tratado como constante dá
.]
Passo 4
Agora obtemos as componentes do tensor de deformação usando
.
Normais:
Cisalhamentos (mostro passo a passo):
Resumo: as componentes não-nulas são linhas (funções lineares) em apenas uma coordenada:
e
.
Passo 5
O que significa “ser compatível”? Para pequenas deformações, as condições de compatibilidade (as equações de Saint-Venant) podem ser escritas em forma índice como
onde
. Essas equações são combinações lineares de segundas derivadas das componentes
e garantem que exista um campo contínuo de deslocamentos produzindo tais deformações. Em termos mais operacionais: se todas as segundas derivadas pertinentes das componentes de
satisfazem essas relações, as deformações são compatíveis.
Passo 6
Checagem prática: observe das expressões do Passo 4 que cada componente não-nula de
é uma função linear de uma coordenada (por exemplo
é proporcional a
,
proporcional a
, etc.) e as normais são zero (constantes). Logo todas as segundas derivadas parciais das componentes de
são zero:
Se todas as segundas derivadas são zero, então cada termo da forma
é zero e, consequentemente, cada combinação na equação de Saint-Venant é zero. Portanto todas as equações de compatibilidade são satisfeitas identicamente.
Outra forma direta de ver isto: como as deformações foram obtidas explicitamente a partir de um campo de deslocamentos
com derivadas contínuas, por construção elas must ser compatíveis — a checagem acima confirma isso com cálculo explícito.
Passo 7
Conclusão final e incentivo: portanto, as componentes de deslocamento dadas geram um tensor de deformação cujas segundas derivadas são todas nulas, de modo que as equações de compatibilidade de Saint-Venant são satisfeitas. Boa! Você chegou até aqui — é só lembrar: se a deformação vem de um campo de deslocamentos suficientemente suave, a compatibilidade vem “de brinde”.
Resposta
As equações de compatibilidade são satisfeitas (todas as segundas derivadas de