Considerando a teoria de pequenos deslocamentos mostre que a deformação é compatível para as componentes dos deslocamentos dadas por: u_{1}=a x_{2} x_{3}, u_{2}=b x_{3} x_{1} \mathrm{e} u_{3}=c x_{1} x_{2}, onde a, b e c são constantes.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a deformação é compatível para as componentes dos deslocamentos dadas por
\;u_{1}=a\,x_{2}x_{3},\;u_{2}=b\,x_{3}x_{1},\;u_{3}=c\,x_{1}x_{2}, onde a,b,c são constantes.
Informações fornecidas que vamos usar: as expressões explícitas de u_1,u_2,u_3 em termos de (x_1,x_2,x_3).
Não vamos resolver nada aqui ainda — só deixei explícito o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Primeira coisa prática: lembrar a definição de tensores de pequena deformação (infinitesimal). Para deslocamentos (u_1,u_2,u_3) definimos o tensor de deformação \varepsilon_{ij} por
\varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}\big(u_{i,j}+u_{j,i}\big),
onde u_{i,j}=\dfrac{\partial u_i}{\partial x_j}. Aqui cada índice i,j\in\{1,2,3\}.
Interpretação rápida: \varepsilon_{ii} (sem soma) são as deformações normais ao longo das direções x_i e \varepsilon_{ij} com i\neq j são as deformações de cisalhamento — e a fórmula é média das derivadas cruzadas para garantir simetria.

Passo 3

Vamos calcular todas as derivadas parciais u_{i,j}. Como a,b,c são constantes e u_1=a x_2 x_3 etc., derivamos coordenada a coordenada:
\begin{aligned} u_{1,1}&=\frac{\partial}{\partial x_1}(a x_2 x_3)=0,\\[4pt] u_{1,2}&=\frac{\partial}{\partial x_2}(a x_2 x_3)=a x_3,\\[4pt] u_{1,3}&=\frac{\partial}{\partial x_3}(a x_2 x_3)=a x_2, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} u_{2,1}&=\frac{\partial}{\partial x_1}(b x_3 x_1)=b x_3,\\[4pt] u_{2,2}&=\frac{\partial}{\partial x_2}(b x_3 x_1)=0,\\[4pt] u_{2,3}&=\frac{\partial}{\partial x_3}(b x_3 x_1)=b x_1, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} u_{3,1}&=\frac{\partial}{\partial x_1}(c x_1 x_2)=c x_2,\\[4pt] u_{3,2}&=\frac{\partial}{\partial x_2}(c x_1 x_2)=c x_1,\\[4pt] u_{3,3}&=\frac{\partial}{\partial x_3}(c x_1 x_2)=0. \end{aligned}
Expliquei cada derivada: por exemplo u_{1,2} é derivada de a x_2 x_3 em relação a x_2, como x_3 é tratado como constante dá a x_3.]

Passo 4

Agora obtemos as componentes do tensor de deformação usando \varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}).
Normais:
\varepsilon_{11}=\tfrac{1}{2}(u_{1,1}+u_{1,1})=u_{1,1}=0,
\varepsilon_{22}=u_{2,2}=0,
\varepsilon_{33}=u_{3,3}=0.
Cisalhamentos (mostro passo a passo):
\varepsilon_{12}=\tfrac{1}{2}(u_{1,2}+u_{2,1})=\tfrac{1}{2}\big(a x_3 + b x_3\big)=\tfrac{a+b}{2}\,x_3,
\varepsilon_{13}=\tfrac{1}{2}(u_{1,3}+u_{3,1})=\tfrac{1}{2}\big(a x_2 + c x_2\big)=\tfrac{a+c}{2}\,x_2,
\varepsilon_{23}=\tfrac{1}{2}(u_{2,3}+u_{3,2})=\tfrac{1}{2}\big(b x_1 + c x_1\big)=\tfrac{b+c}{2}\,x_1.
Resumo: as componentes não-nulas são linhas (funções lineares) em apenas uma coordenada:
\varepsilon_{12}=\tfrac{a+b}{2}x_3,\qquad \varepsilon_{13}=\tfrac{a+c}{2}x_2,\qquad \varepsilon_{23}=\tfrac{b+c}{2}x_1,
e \varepsilon_{11}=\varepsilon_{22}=\varepsilon_{33}=0.

Passo 5

O que significa “ser compatível”? Para pequenas deformações, as condições de compatibilidade (as equações de Saint-Venant) podem ser escritas em forma índice como
\varepsilon_{ij,kl}+\varepsilon_{kl,ij}-\varepsilon_{ik,jl}-\varepsilon_{jl,ik}=0,
onde \varepsilon_{ij,kl}=\dfrac{\partial^2\varepsilon_{ij}}{\partial x_k\partial x_l}. Essas equações são combinações lineares de segundas derivadas das componentes \varepsilon_{ij} e garantem que exista um campo contínuo de deslocamentos produzindo tais deformações. Em termos mais operacionais: se todas as segundas derivadas pertinentes das componentes de \varepsilon satisfazem essas relações, as deformações são compatíveis.

Passo 6

Checagem prática: observe das expressões do Passo 4 que cada componente não-nula de \varepsilon é uma função linear de uma coordenada (por exemplo \varepsilon_{12} é proporcional a x_3, \varepsilon_{13} proporcional a x_2, etc.) e as normais são zero (constantes). Logo todas as segundas derivadas parciais das componentes de \varepsilon são zero:
\frac{\partial^2\varepsilon_{ij}}{\partial x_k\partial x_l}=0\quad\text{para todos }i,j,k,l.
Se todas as segundas derivadas são zero, então cada termo da forma \varepsilon_{ij,kl} é zero e, consequentemente, cada combinação na equação de Saint-Venant é zero. Portanto todas as equações de compatibilidade são satisfeitas identicamente.
Outra forma direta de ver isto: como as deformações foram obtidas explicitamente a partir de um campo de deslocamentos (u_1,u_2,u_3) com derivadas contínuas, por construção elas must ser compatíveis — a checagem acima confirma isso com cálculo explícito.

Passo 7

Conclusão final e incentivo: portanto, as componentes de deslocamento dadas geram um tensor de deformação cujas segundas derivadas são todas nulas, de modo que as equações de compatibilidade de Saint-Venant são satisfeitas. Boa! Você chegou até aqui — é só lembrar: se a deformação vem de um campo de deslocamentos suficientemente suave, a compatibilidade vem “de brinde”.

Resposta

\varepsilon_{11}=0,\;\varepsilon_{22}=0,\;\varepsilon_{33}=0,\;\varepsilon_{12}=\tfrac{a+b}{2}x_3,\;\varepsilon_{13}=\tfrac{a+c}{2}x_2,\;\varepsilon_{23}=\tfrac{b+c}{2}x_1.
As equações de compatibilidade são satisfeitas (todas as segundas derivadas de \varepsilon_{ij} são nulas), portanto a deformação é compatível.

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