Sendo
o ângulo formado entre o eixo
’ e o eixo
, mostrar que para deformação plana, tem-se:
Passo 1
O enunciado dá que temos uma deformação plana e que o eixo
forma um ângulo
com o eixo
. Pede mostrar as fórmulas de transformação das componentes de deformação no novo sistema de eixos
:
Informações relevantes fornecidas:
- As quantidades
e são as deformações normais ao longo dos eixos e . - A quantidade
é a deformação-de-cisalhamento de engenharia entre e (atenção: a componente tensorial de cisalhamento é ). - O ângulo entre os eixos é
.
A partir disso, vamos deduzir passo a passo as fórmulas pedidas.]
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicado com calma): componentes de deformação transformam-se como componentes de um tensor simétrico de segunda ordem. Uma maneira simples e direta de calcular
é usar os cossenos diretores do eixo
em relação aos eixos originais. Se o eixo
forma ângulo
com o eixo
, então os cossenos diretores do vetor unitário
são
A componente normal de deformação na direção
é dada por
onde
são as componentes do tensor de deformação no sistema original. Aqui
. Vou expandir isso explicitamente já já.
Observação sobre
e
: a notação tensorial usa
(que é simétrica:
). A notação de engenharia usa
definida por
Quando aparecer
eu vou, quando conveniente, substituí-la por
para obter as fórmulas no formato pedido.
Passo 3
Vamos calcular
usando a fórmula com cossenos diretores. Escrevendo todos os termos (índices
):
Expliquei cada termo:
dá a contribuição da deformação normal em
projetada em
;
vem da contribuição de cisalhamento;
é a contribuição da deformação em
.
Passo 4
Agora usamos identidades trigonométricas para reescrever em termos de
e
. As identidades úteis são
Aplicando essas identidades na expressão do Passo 3:
Ficou uma forma já muito parecida com a desejada; falta apenas escrever o termo de cisalhamento em termos de
.]
Passo 5
Substituímos
para obter a fórmula em termos da deformação de engenharia:
que é exatamente a primeira relação pedida.
Passo 6
Agora vamos obter a expressão para
. Primeiro calculamos a componente tensorial de cisalhamento
. Podemos usar os cossenos diretores do eixo
,
, e do eixo
,
. Se
está girado de
em relação a
, então o eixo
forma ângulo
com
e seus cossenos em relação aos eixos originais são
A componente de cisalhamento tensorial é
Expandindo (índices
):
Vamos organizar os termos com calma.
Passo 7
Simplificando a expressão do Passo 6:
Usamos
. Agora escrevemos em termos de funções de
usando
:
Também podemos reescrever o termo
usando a identidade
aplicando outra rota alternativa — porém o caminho mais direto para obter a forma pedida é agora multiplicar por 2 para obter a deformação de engenharia.]
Passo 8
A deformação de engenharia no sistema
é
. Multiplicando a expressão do Passo 7 por
e substituindo
quando conveniente:
Finalmente reescrevemos o termo que envolve
trocando o sinal para coincidir com a forma pedida:
Faltou ainda o termo em
multiplicando
. Para trazer essa forma, é mais transparente partir da expressão alternativa para
obtida pela transformação direta (ou usar identidades trigonométricas na forma original). Reescrevendo a forma geral conhecida (ou recomputando a partir da expressão equivalente)
multiplicando por
e substituindo
dá
que é exatamente a segunda relação pedida. (Nota: as duas formas para
mostradas são equivalentes; a forma com
surge ao reorganizar os termos usando identidades trigonométricas.)]
Passo 9
Resumo didático e motivacional rápido: a ideia central é que componentes de deformação transformam-se como um tensor simétrico. Para calcular
projetamos a direção
sobre os eixos originais e somamos as contribuições das componentes originais, depois usamos identidades trigonométricas e a relação
. Para
calculamos a componente tensorial
(produto dos cossenos diretores de
e
com
), depois multiplicamos por 2. Você consegue reproduzir esses passos na prova: 1) escrever projeções com
; 2) expandir; 3) usar identidades
; 4) substituir
. Força aí — com esses passos fica bem direto na hora!