Mostrar que:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Usamos a convenção de soma de Einstein: índices repetidos indicam soma sobre
significa soma sobre
em
.]
Passo 2
Propriedade útil: permutações cíclicas dos índices deixam
inalterado. Em particular,
Explicação didática: um ciclo de comprimento 3 (por exemplo
) pode ser escrito como duas transposições, logo é uma permutação de paridade
. Portanto
toma o mesmo valor após essa rotação cíclica. Como exemplo concreto,
e também
.
Passo 3
Aplicando a igualdade do passo anterior dentro do produto, obtemos
Isto é, o produto se reduz à soma completa de
sobre
.
Passo 4
Agora vamos interpretar
. Pela convenção de soma,
Cada termo
vale
quando dois índices iguais (porque então
), e vale
quando os três índices são todos distintos (pois aí
e o quadrado é
). Logo a soma conta exatamente quantos tripletos
com índices todos distintos existem.
Passo 5
Contagem final: o número de tripletos
com
todos distintos e cada um em
é igual a
porque é só permutar
. Portanto