Mostrar que:
\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}} \mathrm{e}_{\mathrm{jki}}=6;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}\mathrm{e}_{\mathrm{jki}}=6\). Informações relevantes dadas (e convenções que vamos usar): \(\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}\) é o símbolo de Levi-Civita (ou símbolo totalmente antissimétrico) em 3 dimensões. Seus valores são: \[\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}=\begin{cases} +1 & \text{se }(i,j,k)\text{ for uma permutação par de }(1,2,3),\\[4pt] -1 & \text{se }(i,j,k)\text{ for uma permutação ímpar de }(1,2,3),\\[4pt] 0 & \text{se dois ou mais índices são iguais.} \end{cases}
Usamos a convenção de soma de Einstein: índices repetidos indicam soma sobre 1,2,3\]. Então \(\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}\mathrm{e}_{\mathrm{jki}} significa soma sobre i,j,k em \{1,2,3\}.]

Passo 2

Propriedade útil: permutações cíclicas dos índices deixam \mathrm{e}_{\mathrm{ijk}} inalterado. Em particular,
\mathrm{e}_{\mathrm{jki}}=\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}.
Explicação didática: um ciclo de comprimento 3 (por exemplo (i\;j\;k)\mapsto(j\;k\;i)) pode ser escrito como duas transposições, logo é uma permutação de paridade +\!1. Portanto \mathrm{e} toma o mesmo valor após essa rotação cíclica. Como exemplo concreto, \mathrm{e}_{123}=+1 e também \mathrm{e}_{231}=+1.

Passo 3

Aplicando a igualdade do passo anterior dentro do produto, obtemos
\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}\mathrm{e}_{\mathrm{jki}}=\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}.
Isto é, o produto se reduz à soma completa de (\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}})^2 sobre i,j,k.

Passo 4

Agora vamos interpretar \mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}. Pela convenção de soma,
\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}(\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}})^2.
Cada termo (\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}})^2 vale 0 quando dois índices iguais (porque então \mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}=0), e vale 1 quando os três índices são todos distintos (pois aí \mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}=\pm1 e o quadrado é 1). Logo a soma conta exatamente quantos tripletos (i,j,k) com índices todos distintos existem.

Passo 5

Contagem final: o número de tripletos (i,j,k) com i,j,k todos distintos e cada um em \{1,2,3\} é igual a 3! porque é só permutar (1,2,3). Portanto
\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}\mathrm{e}_{\mathrm{ijk}}=3!=6.

Resposta

\;6

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