Sendo
e
, encontre equações que definem as direções de um cubo elementar para as quais as deformações angulares não variam.
Passo 1
Enunciado e dados úteis (exatamente o que o problema deu e o que pede):
- Foram fornecidos os valores das deformações (usar sempre os símbolos conforme enunciado):
, , ,
, , . - O que se pede: “encontre equações que definem as direções de um cubo elementar para as quais as deformações angulares não variam.”
(Ou seja: determinar as direções no espaço do elemento para as quais as deformações angulares associadas às faces do cubo não aparecem — vamos formalizar isso ao longo da resolução.)
Passo 2
Transformando os dados para a forma matricial que usamos para trabalhar com deformações:
- Lembrete importante: a componente de “cisalhamento” da matriz de deformação simétrica
relaciona-se com a engenharia por Aqui são as deformações normais e ( ) são as deformações de corte (elemento simétrico). - Usando os números dados:
- Montamos a matriz simétrica das deformações
com a ordem : ]
Passo 3
Entendendo o que significa “direções para as quais as deformações angulares não variam” e o método a usar (aulas rápidas):
- Para pequenas deformações, a variação do ângulo entre dois vetores unitários iniciais
e é dada, ao primeiro ordem, em termos da matriz simétrica . Se as direções escolhidas são eixos próprios de , então não há componente de cisalhamento entre esses eixos — isto é, as deformações angulares entre esses eixos desaparecem. Em linguagem linear: nas direções próprias (autovetores) a matriz de deformação é diagonal e as componentes de corte (que causam variação angular) são nulas. - Portanto, a tarefa prática: encontrar os autovetores (direções) de
. Isso se faz resolvendo o problema de autovalores e autovetores onde é um autovalor e é o autovetor associado. Cada autovetor define uma direção principal em que não há deformação angular com as outras direções principais.
Passo 4
Calcular os autovalores (detalhando contas):
- Escrevemos o determinante característico
. Como a matriz tem estrutura que separa o eixo (segunda linha/coluna), nota-se imediatamente que é um autovetor: multiplicando por dá . Logo um autovalor é com autovetor . - Para os outros dois autovalores tomamos a submatriz no plano
: O polinômio característico 2×2 é Desenvolvendo: - Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando numericamente , obtemos ]
Passo 5
Encontrar os autovetores correspondentes (passo a passo de contas):
- Para
já vimos o autovetor simples: Ou seja, a direção do eixo é uma direção principal. - Para os autovalores do plano
resolvemos o sistema Da primeira linha: - Para
obtemos Tomando e , o vetor (não normalizado) é . Normalizando (dividindo pelo comprimento) obtemos o autovetor unitário - Para
obtemos Tomando , e normalizando obtemos o autovetor unitário - Observação pedagógica: os três vetores
, e são ortogonais entre si (verificável), formando um sistema de direções principais. Nessas direções, a matriz de deformação é diagonal e, portanto, as deformações angulares entre essas direções não aparecem (são nulas).]
Passo 6
Interpretação final e como usar essas direções na prova:
- Resultado prático: as “direções do cubo” para as quais as deformações angulares não variam são simplesmente as direções próprias (autovetores) da matriz
calculada acima. - Na prova, explique que:
- você construiu
a partir de e ; - procurou autovetores porque em tais direções a componente de cisalhamento entre eixos principais é nula;
- resolveu o problema de autovalores, achando um autovetor óbvio
e reduzindo para um no plano para os demais; - normalizou os autovetores para escrever as direções em forma de cosenos direcionais (unitários).
- você construiu
- Dica rápida para a prova: quando a matriz tem elementos nulos simplificadores (como aqui o eixo
sem acoplamento), verifique autovetores triviais primeiro para ganhar tempo.