Sendo \varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=\varepsilon_{x y}=\varepsilon_{x z}=\varepsilon_{y z}=e, onde e é uma constante, determine as deformações principais.
Passo 1
O enunciado dá que as componentes do tensor de deformação valem \varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=\varepsilon_{z}=e e \varepsilon_{x y}=\varepsilon_{x z}=\varepsilon_{y z}=e, onde e é uma constante.
A pergunta é: determinar as deformações principais (ou seja, os valores próprios — autovalores — do tensor de deformação), isto é, os três valores \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3.
Passo 2
Primeiro escrevemos explicitamente o tensor de deformação (matriz simétrica 3\times3) com os dados do enunciado. Em coordenadas cartesianas, a matriz é
\mathbf{E}= \begin{pmatrix} \varepsilon_{x} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz}\\[4pt] \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{y} & \varepsilon_{yz}\\[4pt] \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e & e & e\\[4pt] e & e & e\\[4pt] e & e & e \end{pmatrix}.
As deformações principais são os autovalores desta matriz, i.e. os \lambda que satisfazem \det(\mathbf{E}-\lambda \mathbf{I})=0.]
Passo 3
Uma maneira direta e didática de achar os autovalores é observar o efeito da matriz sobre vetores específicos. Note o vetor
\mathbf{E}v= \begin{pmatrix} e & e & e\\[4pt] e & e & e\\[4pt] e & e & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e+e+e\\[2pt]e+e+e\\[2pt]e+e+e\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3e\\[2pt]3e\\[2pt]3e\end{pmatrix} =3e\,v.
Logo, v é um autovetor de \mathbf{E} com autovalor \lambda=3e. Isto nos dá um dos autovalores (uma deformação principal igual a 3e).]
Passo 4
Agora procuremos os autovalores restantes. Observemos qualquer vetor w cuja soma das componentes seja zero, por exemplo w=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix} ou w=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}. Calculemos \mathbf{E}w: cada linha de \mathbf{E} é (e,e,e), então o produto \mathbf{E}w dá um vetor cujas entradas são todas e vezes a soma das componentes de w. Como escolhemos w com soma das componentes igual a zero, obtemos
\mathbf{E}w=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}=0\cdot w.
Portanto qualquer vetor com soma das componentes nula é autovetor com autovalor \lambda=0. O espaço desses vetores é bidimensional (posto da matriz é 1), então o autovalor zero tem multiplicidade algébrica 2.]
Passo 5
Se quiser confirmar com cálculo do polinômio característico, fazemos
\det(\mathbf{E}-\lambda\mathbf{I})= \det\begin{pmatrix} e-\lambda & e & e\\[4pt] e & e-\lambda & e\\[4pt] e & e & e-\lambda \end{pmatrix}.
Subtraindo a primeira linha das outras duas (operações elementares que não mudam o zero das raízes) obtemos linhas auxiliares [\,\lambda,-\lambda,0\,] e [\,\lambda,0,-\lambda\,]. Extraindo um fator \lambda de cada uma dessas duas linhas resulta em
As raízes são \lambda=0 (duas vezes) e \lambda=3e, confirmando o que encontramos de forma interpretativa.]
Passo 6
Portanto as deformações principais são os autovalores da matriz \mathbf{E}: um valor igual a 3e e dois valores iguais a 0. Em termos práticos, isso significa que na direção do vetor \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} há uma deformação 3e, enquanto em quaisquer duas direções ortogonais a essa (qualquer par de vetores cuja soma de componentes seja zero) a deformação é zero.]