As incógnitas são as relações entre as componentes da velocidade de uma partícula medidas em dois referenciais inerciais S e S' que se movem um em relação ao outro com velocidade v ao longo do eixo x. No próximo passo vou mostrar como escolher as variáveis corretas para transformar linearmente e por que isso facilita muito a demonstração.
Passo 2
Idéia central: em relatividade especial as quantidades que se transformam linearmente sob uma transformação de Lorentz são os quadrivetores (four-vectors). A velocidade ordinária \mathbf{V} não é um quadrivetor, mas o quadrivetor velocidade (four-velocity) é: ele é definido por
U^\mu=\gamma(V)\,(c,\,V_x,\,V_y,\,V_z),
onde explico cada símbolo:
\gamma(V)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(V/c)^{2}}}
é o fator de Lorentz associado à velocidade \mathbf{V} da partícula medida no referencial S; c é a velocidade da luz; e U^0=\gamma(V)c, U^1=\gamma(V)V_x, U^2=\gamma(V)V_y, U^3=\gamma(V)V_z. O mesmo para o referencial S':
U'^\mu=\gamma(V')\,(c,\,V_x',\,V_y',\,V_z').
A vantagem: componentes de U^\mu transformam linearmente segundo a matriz de Lorentz, o que torna a demonstração direta.
Passo 3
Escrevo a transformação de Lorentz (boost) ao longo do eixo x com velocidade relativa v. Para qualquer quadrivetor W^\mu=(W^0,W^1,W^2,W^3) vale
Essa é a forma padrão da matriz de Lorentz para um boost ao longo de x. Estou usando \dfrac{v}{c} para manter as unidades coerentes (lembre que W^0 tem dimensão de comprimento/tempo porque normalmente W^0 é algo como c vezes algo).]
Passo 4
Agora aplico essa transformação ao quadrivetor velocidade U^\mu. Substituo W^\mu por U^\mu e W'^\mu por U'^\mu. Para as componentes 0 e 1 obtenho:
Agora substituo U^0=\gamma(V)c, U^1=\gamma(V)V_x, U'^0=\gamma(V')c, U'^1=\gamma(V')V_x'. Isso dá duas identidades úteis; vou trabalhar primeiro com a componente 1, porque ela leva diretamente à primeira fórmula que queremos.]
Ótimo — já demonstramos a transformação da componente x multiplicada por \gamma(V).
Passo 6
Agora uso as componentes 2 e 3. A transformação diz U^2=U'^2 e U^3=U'^3. Substituindo U^2=\gamma(V)V_y e U'^2=\gamma(V')V_y' (e análogo para z) obtenho:
Para obter o segundo bloco pedido (as expressões para as componentes primadas em função das não-primadas), podemos usar que a transformação de Lorentz inversa é obtida trocando v por -v (ou alternativamente swap entre primado e não-primado trocando o sinal de v). Assim, aplicando a mesma fórmula mas invertendo os papéis (ou substituindo v\to -v e trocando primed/unprimed) chegamos imediatamente a:
A lógica por trás disso é: se U^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu U'^\nu, então U'^\mu=(\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu U^\nu e para um boost a inversa é igual à mesma matriz com v\to -v. A algebra é a mesma do passo anterior, só que com sinal trocado, o que muda V_x'+v para V_x - v no lado apropriado.]
Passo 8
Resumo conceitual rápido e encorajamento: usamos o quadrivetor velocidade porque seus componentes transformam linearmente sob Lorentz — isso evita ficar manipulando frações com \sqrt{1-(V/c)^2} diretamente nas fórmulas usuais de composição de velocidades e deixa a demonstração limpa. Sempre que estiver em dúvida numa prova, pensar em quatro-vetores (momentum, four-velocity, four-position) costuma simplificar bastante. Você está indo bem — já tem a técnica pronta para repetir esse raciocínio em outros problemas.