O observador O mede o comprimento de uma haste que se move com velocidade conhecida v, determinando o intervalo de tempo \Delta t necessário para que as extremidades da haste passem por um determinado ponto no espaço. O comprimento medido é então L=v \Delta t. Use a dilatação do tempo para mostrar que o comprimento da haste móvel é dado por L=L^{\prime} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}, onde L^{\prime} é o comprimento de repouso da haste.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • São dadas as grandezas: a velocidade conhecida da haste v e a velocidade da luz c.
  • Um observador O em seu referencial fixa um ponto do espaço (por exemplo x=0) e mede o intervalo de tempo \Delta t necessário para que as duas extremidades da haste passem por esse ponto. A partir dessa medição o observador define o comprimento medido como L=v\,\Delta t.
  • É fornecido também o comprimento de repouso da haste, que vamos chamar de L^{\prime}. Por definição, L^{\prime} é o comprimento da haste no referencial onde a haste está em repouso.
  • O enunciado pede: usando a dilatação do tempo, mostrar que o comprimento da haste medido por O (ou seja L) está relacionado ao comprimento de repouso por
L = L^{\prime}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.
Essas são as informações e a pergunta. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definir claramente os dois “eventos” que vamos usar (isso é importante em relatividade):
  • Evento 1: a extremidade dianteira (front) da haste passa pelo ponto fixo do observador (por exemplo x=0).
  • Evento 2: a extremidade traseira (rear) da haste passa pelo mesmo ponto fixo do observador.
Explicação dos símbolos que usarei a partir daqui:
  • v é a velocidade da haste relativa ao observador O.
  • c é a velocidade da luz.
  • \Delta t é o intervalo de tempo entre Evento 1 e Evento 2 medido no referencial do observador O. Esse \Delta t foi dado no enunciado e satisfaz L=v\,\Delta t.
  • \Delta t' será o intervalo de tempo entre os mesmos dois eventos, mas medido no referencial da haste (o referencial onde a haste está em repouso); nesse referencial a haste tem comprimento L^{\prime}.

Passo 3

Explicar o que é tempo próprio e a fórmula da dilatação do tempo (a “aula” exigida).
  • Tempo próprio: entre dois eventos, o tempo próprio \Delta \tau é o intervalo medido por um único relógio que está presente nos dois eventos (ou seja, os dois eventos ocorrem no mesmo lugar desse relógio). O tempo próprio é sempre o menor intervalo de tempo entre duas observações do mesmo par de eventos.
  • Dilatação do tempo: se \Delta \tau é o tempo próprio entre dois eventos, e \Delta t é o tempo medido por outro referencial que vê esses eventos ocorrerem em lugares diferentes, então a relação é
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau,
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui \gamma é o fator de Lorentz (sempre \gamma\ge 1). Essa fórmula diz que um observador que vê um relógio em movimento medirá um intervalo de tempo maior (dilatado) do que o tempo próprio marcado pelo relógio que está junto aos eventos.
Breve justificativa intuitiva (sem derivação formal por transformações): imagine um relógio que faz um ciclo (dois eventos no mesmo lugar do relógio). Em um referencial onde o relógio se move, o caminho de luz num relógio de luz é mais longo (geometria de triângulo retângulo) e, portanto, o tempo por ciclo medido nesse referencial é maior. O fator que relaciona esses tempos é exatamente \gamma.

Passo 4

Determinar qual intervalo é tempo próprio neste problema.
  • Observe que no referencial do observador O os dois eventos acontecem no mesmo local espacial (no ponto fixo onde medimos), ou seja, os eventos 1 e 2 ocorrem ambos em x=0. Portanto, o intervalo de tempo \Delta t medido por O é um tempo próprio para esses dois eventos. Em notação:
\Delta \tau = \Delta t.
  • Consequentemente, o intervalo de tempo entre os mesmos dois eventos medido no referencial da haste (onde a haste está em repouso) é dilatado em relação a \Delta t. Aplicando a fórmula da dilatação do tempo:
\Delta t' = \gamma\,\Delta \tau = \gamma\,\Delta t.
Aqui \Delta t' é maior que \Delta t porque \gamma\ge 1.

Passo 5

Calcular \Delta t' em termos do comprimento de repouso L^{\prime}.
  • No referencial da haste (sistema em que a haste está em repouso e tem comprimento L^{\prime}), o ponto fixo do observador O está se movendo com velocidade -v (o ponto atravessa a haste da frente para trás com velocidade relativa v).
  • Para o ponto percorrer a distância entre a extremidade dianteira e a extremidade traseira da haste (distância igual ao comprimento de repouso L^{\prime}), o tempo necessário nesse referencial é
\Delta t' = \frac{L^{\prime}}{v}.
Explicação: velocidade é distância sobre tempo, então tempo = distância/velocidade. A distância a ser percorrida pelo ponto (no referencial da haste) é exatamente o comprimento da haste L^{\prime}.

Passo 6

Juntar as duas expressões para \Delta t' e eliminar \Delta t para relacionar L e L^{\prime}.
  • Do Passo 4 temos \Delta t' = \gamma\,\Delta t.
  • Do Passo 5 temos \Delta t' = \dfrac{L^{\prime}}{v}.
    Igualando:
\frac{L^{\prime}}{v} = \gamma\,\Delta t.
  • Lembre que o observador O mede L por L = v\,\Delta t. Substituindo \Delta t = \dfrac{L}{v} na equação anterior:
\frac{L^{\prime}}{v} = \gamma\,\frac{L}{v}.
  • Podemos multiplicar ambos os lados por v (assumindo v\neq 0):
L^{\prime} = \gamma\,L.

Passo 7

Isolar L e escrever a forma final com \gamma explicitado.
  • Da relação L^{\prime}=\gamma\,L obtemos
L = \frac{L^{\prime}}{\gamma}.
  • Substituindo \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}, temos
L = L^{\prime}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.
Isso é exatamente a fórmula pedida: o comprimento medido no referencial onde a haste se move é menor que o comprimento de repouso por um fator \sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.

Passo 8

Interpretação física rápida e incentivo (mini resumo didático).
  • O que fizemos: identificamos dois eventos (passagem das extremidades por um ponto), usamos que o tempo medido pelo observador que tem ambos os eventos no mesmo lugar é tempo próprio, aplicamos dilatação do tempo para conectar esse tempo com o tempo medido no referencial da haste e, finalmente, usamos relação distância = velocidade × tempo no referencial da haste para obter a relação entre comprimentos.
  • Resultado físico: comprimentos na direção do movimento contraem-se segundo o fator \sqrt{1-v^{2}/c^{2}}. Para v\ll c a contração é quase nula; à medida que v se aproxima de c a contração fica muito grande.
  • Força: você já tem o raciocínio padrão de relatividade especial aqui — identificar eventos, ver onde ocorrem no mesmo lugar (tempo próprio), e aplicar dilatação do tempo. Dá para repetir esse tipo de raciocínio em problemas similares.

Resposta

L = L^{\prime}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}

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