O observador
mede o comprimento de uma haste que se move com velocidade conhecida v, determinando o intervalo de tempo
necessário para que as extremidades da haste passem por um determinado ponto no espaço. O comprimento medido é então
. Use a dilatação do tempo para mostrar que o comprimento da haste móvel é dado por
, onde
é o comprimento de repouso da haste.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- São dadas as grandezas: a velocidade conhecida da haste
e a velocidade da luz . - Um observador
em seu referencial fixa um ponto do espaço (por exemplo ) e mede o intervalo de tempo necessário para que as duas extremidades da haste passem por esse ponto. A partir dessa medição o observador define o comprimento medido como . - É fornecido também o comprimento de repouso da haste, que vamos chamar de
. Por definição, é o comprimento da haste no referencial onde a haste está em repouso. - O enunciado pede: usando a dilatação do tempo, mostrar que o comprimento da haste medido por
(ou seja ) está relacionado ao comprimento de repouso por
Essas são as informações e a pergunta. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definir claramente os dois “eventos” que vamos usar (isso é importante em relatividade):
- Evento 1: a extremidade dianteira (front) da haste passa pelo ponto fixo do observador (por exemplo
). - Evento 2: a extremidade traseira (rear) da haste passa pelo mesmo ponto fixo do observador.
Explicação dos símbolos que usarei a partir daqui:
-
é a velocidade da haste relativa ao observador . -
é a velocidade da luz. -
é o intervalo de tempo entre Evento 1 e Evento 2 medido no referencial do observador . Esse foi dado no enunciado e satisfaz . -
será o intervalo de tempo entre os mesmos dois eventos, mas medido no referencial da haste (o referencial onde a haste está em repouso); nesse referencial a haste tem comprimento .
Passo 3
Explicar o que é tempo próprio e a fórmula da dilatação do tempo (a “aula” exigida).
- Tempo próprio: entre dois eventos, o tempo próprio
é o intervalo medido por um único relógio que está presente nos dois eventos (ou seja, os dois eventos ocorrem no mesmo lugar desse relógio). O tempo próprio é sempre o menor intervalo de tempo entre duas observações do mesmo par de eventos. - Dilatação do tempo: se
é o tempo próprio entre dois eventos, e é o tempo medido por outro referencial que vê esses eventos ocorrerem em lugares diferentes, então a relação é
onde
Aqui
é o fator de Lorentz (sempre
). Essa fórmula diz que um observador que vê um relógio em movimento medirá um intervalo de tempo maior (dilatado) do que o tempo próprio marcado pelo relógio que está junto aos eventos.
Breve justificativa intuitiva (sem derivação formal por transformações): imagine um relógio que faz um ciclo (dois eventos no mesmo lugar do relógio). Em um referencial onde o relógio se move, o caminho de luz num relógio de luz é mais longo (geometria de triângulo retângulo) e, portanto, o tempo por ciclo medido nesse referencial é maior. O fator que relaciona esses tempos é exatamente
.
Passo 4
Determinar qual intervalo é tempo próprio neste problema.
- Observe que no referencial do observador
os dois eventos acontecem no mesmo local espacial (no ponto fixo onde medimos), ou seja, os eventos 1 e 2 ocorrem ambos em . Portanto, o intervalo de tempo medido por é um tempo próprio para esses dois eventos. Em notação:
- Consequentemente, o intervalo de tempo entre os mesmos dois eventos medido no referencial da haste (onde a haste está em repouso) é dilatado em relação a
. Aplicando a fórmula da dilatação do tempo:
Aqui
é maior que
porque
.
Passo 5
Calcular
em termos do comprimento de repouso
.
- No referencial da haste (sistema em que a haste está em repouso e tem comprimento
), o ponto fixo do observador está se movendo com velocidade (o ponto atravessa a haste da frente para trás com velocidade relativa ). - Para o ponto percorrer a distância entre a extremidade dianteira e a extremidade traseira da haste (distância igual ao comprimento de repouso
), o tempo necessário nesse referencial é
Explicação: velocidade é distância sobre tempo, então tempo = distância/velocidade. A distância a ser percorrida pelo ponto (no referencial da haste) é exatamente o comprimento da haste
.
Passo 6
Juntar as duas expressões para
e eliminar
para relacionar
e
.
- Do Passo 4 temos
. - Do Passo 5 temos
.
Igualando:
- Lembre que o observador
mede por . Substituindo na equação anterior:
- Podemos multiplicar ambos os lados por
(assumindo ):
Passo 7
Isolar
e escrever a forma final com
explicitado.
- Da relação
obtemos
- Substituindo
, temos
Isso é exatamente a fórmula pedida: o comprimento medido no referencial onde a haste se move é menor que o comprimento de repouso por um fator
.
Passo 8
Interpretação física rápida e incentivo (mini resumo didático).
- O que fizemos: identificamos dois eventos (passagem das extremidades por um ponto), usamos que o tempo medido pelo observador que tem ambos os eventos no mesmo lugar é tempo próprio, aplicamos dilatação do tempo para conectar esse tempo com o tempo medido no referencial da haste e, finalmente, usamos relação distância = velocidade × tempo no referencial da haste para obter a relação entre comprimentos.
- Resultado físico: comprimentos na direção do movimento contraem-se segundo o fator
. Para a contração é quase nula; à medida que se aproxima de a contração fica muito grande. - Força: você já tem o raciocínio padrão de relatividade especial aqui — identificar eventos, ver onde ocorrem no mesmo lugar (tempo próprio), e aplicar dilatação do tempo. Dá para repetir esse tipo de raciocínio em problemas similares.