Considere a transformação das componentes x, y e z da velocidade vetorial de um objeto, para observadores relacionados pela transformação de Lorentz. Demonstre que essas componentes da velocidade se transformam tal que:
\left\{\begin{array} { l }
{ V _ { x } ^ { \prime } = \frac { V _ { x } - v } { 1 - v V _ { x } / c ^ { 2 } } } \\
{ V _ { y } ^ { \prime } = \frac { V _ { y } \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } { 1 - v V _ { x } / c ^ { 2 } } } \\
{ V _ { z } ^ { \prime } = \frac { V _ { z } \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } { 1 - v V _ { x } / c ^ { 2 } } }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
V_{x}=\frac{V_{x}^{\prime}+v}{1+v V_{x}^{\prime} / c^{2}} \\
V_{y}=\frac{V_{y}^{\prime} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{1+v V_{x}^{\prime} / c^{2}} \\
V_{z}=\frac{V_{z}^{\prime} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{1+v V_{x}^{\prime} / c^{2}}
\end{array}\right.\right.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de transformação das componentes x, y e z da velocidade de um objeto quando trocamos de observador entre dois referenciais em movimento relativo com velocidade \,v ao longo do eixo x. Ou seja, queremos as expressões de \,V_{x}',V_{y}',V_{z}' em função de \,V_{x},V_{y},V_{z} e as expressões inversas \,V_{x},V_{y},V_{z} em função de \,V_{x}',V_{y}',V_{z}'.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias que vamos usar:
\begin{aligned} &\text{Dois referenciais }S\text{ e }S'\text{, com }S'\text{ se movendo em relação a }S\text{ com velocidade }v\text{ ao longo de }x.\\\ &\text{Definição de velocidade: }V_x=\frac{dx}{dt},\;V_y=\frac{dy}{dt},\;V_z=\frac{dz}{dt},\text{ e analogamente para as primadas.}\\\ &\text{As transformações de Lorentz para coordenadas (diferença de origem nula):}\\\ &\qquad x'=\gamma(x-vt),\quad t'=\gamma\!\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right),\quad y'=y,\quad z'=z,\\\ &\qquad\text{onde }\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}. \end{aligned}çãçãçõç
Passo 2
Explico a estratégia antes de começar as contas: velocida-des são derivadas temporais de coordenadas. Assim, se eu diferencio as transformações de Lorentz (tratar dx,dy,dz,dt como diferenciais), obtenho relações entre dx',dt',dy',dz'. Então \,V_x'=\dfrac{dx'}{dt'}, \,V_y'=\dfrac{dy'}{dt'}, \,V_z'=\dfrac{dz'}{dt'}. Vou fazer exatamente isso, com cuidado nas manipulações algébricas para ficar claro como aparecerem os fatores \gamma e 1-vV_x/c^2.
Passo 3
Diferencio as transformações de Lorentz (tratando tudo como diferenciais):
Essa é exatamente a primeira fórmula procurada. Observação didática: dividimos numerador e denominador por dt (que é não nulo para movimento) e cancelamos \gamma.
Passo 5
Agora calculo \,V_y'=\dfrac{dy'}{dt'}. Como dy'=dy e dt'=\gamma\left(1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}\right)dt, temos
Agora obtenho as transformações inversas (expressões de V_x,V_y,V_z em função das componentes primadas). Posso proceder análoga e/ou usar a simetria da Lorentz: a transformação inversa corresponde a trocar v por -v e trocar primadas por não-primadas; ou derivar diretamente da inversa das transformações de Lorentz:
Breve checagem física (rápida para ganhar intuição): no limite não relativístico v\ll c e V_x\ll c temos \sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\approx 1 e os termos com vV_x/c^{2} são negligíveis, então as fórmulas reduzem-se às transformações de Galileu