Considere a transformação das componentes x, y e z da velocidade vetorial de um objeto, para observadores relacionados pela transformação de Lorentz. Demonstre que essas componentes da velocidade se transformam tal que:
\left\{\begin{array} { l } { V _ { x } ^ { \prime } = \frac { V _ { x } - v } { 1 - v V _ { x } / c ^ { 2 } } } \\ { V _ { y } ^ { \prime } = \frac { V _ { y } \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } { 1 - v V _ { x } / c ^ { 2 } } } \\ { V _ { z } ^ { \prime } = \frac { V _ { z } \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } { 1 - v V _ { x } / c ^ { 2 } } } \end{array} \left\{\begin{array}{l} V_{x}=\frac{V_{x}^{\prime}+v}{1+v V_{x}^{\prime} / c^{2}} \\ V_{y}=\frac{V_{y}^{\prime} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{1+v V_{x}^{\prime} / c^{2}} \\ V_{z}=\frac{V_{z}^{\prime} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{1+v V_{x}^{\prime} / c^{2}} \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de transformação das componentes x, y e z da velocidade de um objeto quando trocamos de observador entre dois referenciais em movimento relativo com velocidade \,v ao longo do eixo x. Ou seja, queremos as expressões de \,V_{x}',V_{y}',V_{z}' em função de \,V_{x},V_{y},V_{z} e as expressões inversas \,V_{x},V_{y},V_{z} em função de \,V_{x}',V_{y}',V_{z}'.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias que vamos usar:
\begin{aligned} &\text{Dois referenciais }S\text{ e }S'\text{, com }S'\text{ se movendo em relação a }S\text{ com velocidade }v\text{ ao longo de }x.\\\ &\text{Definição de velocidade: }V_x=\frac{dx}{dt},\;V_y=\frac{dy}{dt},\;V_z=\frac{dz}{dt},\text{ e analogamente para as primadas.}\\\ &\text{As transformações de Lorentz para coordenadas (diferença de origem nula):}\\\ &\qquad x'=\gamma(x-vt),\quad t'=\gamma\!\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right),\quad y'=y,\quad z'=z,\\\ &\qquad\text{onde }\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}. \end{aligned}çãçãçõç

Passo 2

Explico a estratégia antes de começar as contas: velocida-des são derivadas temporais de coordenadas. Assim, se eu diferencio as transformações de Lorentz (tratar dx,dy,dz,dt como diferenciais), obtenho relações entre dx',dt',dy',dz'. Então \,V_x'=\dfrac{dx'}{dt'}, \,V_y'=\dfrac{dy'}{dt'}, \,V_z'=\dfrac{dz'}{dt'}. Vou fazer exatamente isso, com cuidado nas manipulações algébricas para ficar claro como aparecerem os fatores \gamma e 1-vV_x/c^2.

Passo 3

Diferencio as transformações de Lorentz (tratando tudo como diferenciais):
dx'=\gamma\,(dx-v\,dt), \qquad dt'=\gamma\!\left(dt-\frac{v\,dx}{c^{2}}\right), \qquad dy'=dy, \qquad dz'=dz.
Agora uso a definição de velocidade no referencial S:
V_x=\frac{dx}{dt},\quad V_y=\frac{dy}{dt},\quad V_z=\frac{dz}{dt}.

Passo 4

Calculo \,V_x'=\dfrac{dx'}{dt'} usando os diferenciais acima. Substituo dx=V_x\,dt nas expressões de dx' e dt':
dx'=\gamma\,(V_x\,dt - v\,dt)=\gamma\,(V_x - v)\,dt,
dt'=\gamma\!\left(dt - \frac{v\,V_x\,dt}{c^{2}}\right)=\gamma\left(1-\frac{v V_x}{c^{2}}\right)dt.
Agora divido dx' por dt':
V_x'=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma (V_x - v)\,dt}{\gamma\left(1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}\right)dt} =\frac{V_x - v}{1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}}.
Essa é exatamente a primeira fórmula procurada. Observação didática: dividimos numerador e denominador por dt (que é não nulo para movimento) e cancelamos \gamma.

Passo 5

Agora calculo \,V_y'=\dfrac{dy'}{dt'}. Como dy'=dy e dt'=\gamma\left(1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}\right)dt, temos
V_y'=\frac{dy'}{dt'}=\frac{dy}{\gamma\left(1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}\right)dt} =\frac{1}{\gamma}\,\frac{dy/dt}{1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}} =\frac{V_y}{\gamma\left(1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}\right)}.
Agora uso \dfrac{1}{\gamma}=\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}} para escrever na forma pedida:
V_y'=\frac{V_y\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}}.
O mesmo raciocínio vale para z, porque z'=z. Assim
V_z'=\frac{V_z\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\dfrac{v V_x}{c^{2}}}.

Passo 6

Agora obtenho as transformações inversas (expressões de V_x,V_y,V_z em função das componentes primadas). Posso proceder análoga e/ou usar a simetria da Lorentz: a transformação inversa corresponde a trocar v por -v e trocar primadas por não-primadas; ou derivar diretamente da inversa das transformações de Lorentz:
x=\gamma(x'+v t'),\qquad t=\gamma\!\left(t'+\frac{v x'}{c^{2}}\right),\qquad y=y',\qquad z=z'.
Diferenciando e repetindo o mesmo procedimento:
dx=\gamma(dx'+v\,dt'),\qquad dt'=\gamma\left(dt'+\frac{v\,dx'}{c^{2}}\right).
Substituindo dx'=V_x' dt' e dividindo, obtemos
V_x=\frac{V_x' + v}{1 + \dfrac{v V_x'}{c^{2}}}.
Para as componentes transversas, como dy=dy' e
dt=\gamma\left(1+\frac{v V_x'}{c^{2}}\right)dt',
segue
V_y=\frac{V_y'}{\gamma\left(1+\dfrac{v V_x'}{c^{2}}\right)} =\frac{V_y'\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\dfrac{v V_x'}{c^{2}}},
e análogo para V_z:
V_z=\frac{V_z'\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\dfrac{v V_x'}{c^{2}}}.

Passo 7

Breve checagem física (rápida para ganhar intuição): no limite não relativístico v\ll c e V_x\ll c temos \sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\approx 1 e os termos com vV_x/c^{2} são negligíveis, então as fórmulas reduzem-se às transformações de Galileu
V_x'\approx V_x-v,\qquad V_y'\approx V_y,\qquad V_z'\approx V_z,
o que faz sentido físico: apenas a componente ao longo da direção de movimento sofre subtração da velocidade relativa.

Resposta

V_{x}'=\frac{V_{x}-v}{1-\dfrac{v V_{x}}{c^{2}}}
V_{y}'=\frac{V_{y}\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\dfrac{v V_{x}}{c^{2}}}
V_{z}'=\frac{V_{z}\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\dfrac{v V_{x}}{c^{2}}}
V_{x}=\frac{V_{x}'+v}{1+\dfrac{v V_{x}'}{c^{2}}}
V_{y}=\frac{V_{y}'\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\dfrac{v V_{x}'}{c^{2}}}
V_{z}=\frac{V_{z}'\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\dfrac{v V_{x}'}{c^{2}}}

Exercícios relacionados