Considerando uma variável aleatória com distribuição binominal (9, 0.4) calcule a probabilidade de: Duas ou menos sucessos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros (número de tentativas) e (probabilidade de sucesso em cada tentativa). A pergunta é: qual a probabilidade de termos duas ou menos sucessos nessa distribuição?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou falha. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k sucessos em tentativas é:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso.
  • é a probabilidade de falha.

Passo 3

Como a pergunta é sobre “duas ou menos sucessos”, vamos calcular a probabilidade para , e e depois somar essas probabilidades.

Passo 4

Calculando para P(X = 0) = binom90 (0.4)^0 (0.6)^9 = 1 times 1 times 0.6^9 approx 0.0105 :

Passo 5

Agora, para P(X = 1) = binom91 (0.4)^1 (0.6)^8 = 9 times 0.4 times 0.6^8 approx 0.0473 :

Passo 6

E para P(X = 2) = binom92 (0.4)^2 (0.6)^7 = 36 times 0.16 times 0.6^7 approx 0.1209 :

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade de ter duas ou menos sucessos:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0.0105 + 0.0473 + 0.1209 = 0.1787

Resposta

A probabilidade de obter duas ou menos sucessos em uma distribuição binomial com e é aproximadamente 0.1787 (ou 17.87%).

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