( 2,0 pontos) Considere uma prensa hidráulica formada por dois êmbolos com diâmetros de 20 e 300 cm, respectivamente. a) Se um corpo de massa igual a 4000 kg fosse colocado sobre o êmbolo maior, qual seria a intensidade da força necessária para equilibrar o sistema? b) Qual o valor da massa associada a esta força?

Passo 1

O enunciado dá uma prensa hidráulica com dois êmbolos de diâmetros 20\\ \text{cm} e 300\\ \text{cm}. Um corpo de massa 4000\\ \text{kg} é colocado sobre o êmbolo maior. Pergunta-se:
a) Qual a intensidade da força necessária no êmbolo menor para equilibrar o sistema?
b) Qual a massa associada a essa força (ou seja, a massa que geraria essa força peso)?
Dados fornecidos (escrevo tudo em forma matemática para ficar claro):
d_1 = 20\\ \text{cm},\qquad d_2 = 300\\ \text{cm},\qquad m = 4000\\ \text{kg}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo): em um fluido incompressível em equilíbrio, a variação de pressão é transmitida igualmente — isto é, a pressão no fluido sob o êmbolo pequeno é igual à pressão sob o êmbolo grande. Pressão é definida como força sobre área. Em fórmulas:
P=\frac{F}{A}.
Como a pressão é a mesma nos dois êmbolos,
\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2},
onde F_1 é a força aplicada no êmbolo menor, A_1 sua área, F_2 a força (peso) sobre o êmbolo maior e A_2 sua área. Isso nos dá a relação que vamos usar para achar F_1:
F_1 = \frac{A_1}{A_2}\,F_2.
Observação didática: F_2 é o peso do corpo colocado no êmbolo maior, ou seja F_2=m g, onde g é a aceleração da gravidade. Vou usar g=9,8\\ \text{m/s}^2.

Passo 3

Calcular as áreas dos êmbolos (área de círculo). Primeiro convertemos diâmetro em raio: r=\dfrac{d}{2}.
r_1=\frac{d_1}{2}=\frac{20}{2}=10\\ \text{cm},\qquad r_2=\frac{d_2}{2}=\frac{300}{2}=150\\ \text{cm}.
A área de um círculo é A=\pi r^2. Portanto:
A_1=\pi r_1^2=\pi\cdot 10^2=100\pi\\ \text{cm}^2,
A_2=\pi r_2^2=\pi\cdot 150^2=22500\pi\\ \text{cm}^2.
Repare que a unidade fica em \text{cm}^2, mas ao formar a razão A_1/A_2 as unidades e o fator \pi se cancelam.

Passo 4

Calcular a razão das áreas que aparece na relação de pressão:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{100\pi}{22500\pi}=\frac{100}{22500}=\frac{1}{225}.
Isso significa que a força necessária no êmbolo menor é \dfrac{1}{225} da força aplicada no êmbolo maior.

Passo 5

Calcular a força peso sobre o êmbolo maior:
F_2 = m g = 4000\cdot 9,8 = 39200\\ \text{N}.
Agora aplicar a relação para obter F_1:
F_1 = \frac{A_1}{A_2}\,F_2 = \frac{1}{225}\cdot 39200 = \frac{39200}{225}.
Simplificando a fração:
F_1=\frac{39200}{225}=\frac{1568}{9}\\ \text{N}\approx 174,22\\ \text{N}.
Explicação: dividi numerador e denominador por 25 para simplificar: 39200/25=1568 e 225/25=9.

Passo 6

Calcular a massa associada a essa força F_1. A massa m' que teria peso igual a F_1 satisfaz F_1=m' g, logo
m'=\frac{F_1}{g}=\frac{1}{g}\cdot\frac{A_1}{A_2}\,F_2=\frac{A_1}{A_2}\,m.
Ou diretamente:
m'=\frac{m}{225}=\frac{4000}{225}.
Simplificando (dividindo por 25):
m'=\frac{160}{9}\\ \text{kg}\approx 17,78\\ \text{kg}.
Observação didática: note que a aceleração da gravidade cancela quando pedimos a massa associada, por isso m'=(A_1/A_2)\,m.

Passo 7

Resumo e interpretação rápida (para a prova): colocar 4000\\ \text{kg} no êmbolo grande exige uma força muito pequena no êmbolo pequeno porque a área do êmbolo grande é muito maior — o fator é 1/225. Assim você “multiplica” a força aplicada no êmbolo pequeno pela razão inversa das áreas para levantar o peso maior.

Resposta

(a) \;F_1=\dfrac{1568}{9}\\ \text{N}\approx 174,22\\ \text{N}
(b) \;m'=\dfrac{160}{9}\\ \text{kg}\approx 17,78\\ \text{kg}

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