( 2,0 pontos) Considere uma prensa hidráulica formada por dois êmbolos com diâmetros de 20 e 300 cm, respectivamente. a) Se um corpo de massa igual a 4000 kg fosse colocado sobre o êmbolo maior, qual seria a intensidade da força necessária para equilibrar o sistema? b) Qual o valor da massa associada a esta força?
Passo 1
O enunciado dá uma prensa hidráulica com dois êmbolos de diâmetros
e
. Um corpo de massa
é colocado sobre o êmbolo maior. Pergunta-se:
a) Qual a intensidade da força necessária no êmbolo menor para equilibrar o sistema?
b) Qual a massa associada a essa força (ou seja, a massa que geraria essa força peso)?
a) Qual a intensidade da força necessária no êmbolo menor para equilibrar o sistema?
b) Qual a massa associada a essa força (ou seja, a massa que geraria essa força peso)?
Dados fornecidos (escrevo tudo em forma matemática para ficar claro):
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo): em um fluido incompressível em equilíbrio, a variação de pressão é transmitida igualmente — isto é, a pressão no fluido sob o êmbolo pequeno é igual à pressão sob o êmbolo grande. Pressão é definida como força sobre área. Em fórmulas:
Como a pressão é a mesma nos dois êmbolos,
onde
é a força aplicada no êmbolo menor,
sua área,
a força (peso) sobre o êmbolo maior e
sua área. Isso nos dá a relação que vamos usar para achar
:
Observação didática:
é o peso do corpo colocado no êmbolo maior, ou seja
, onde
é a aceleração da gravidade. Vou usar
.
Passo 3
Calcular as áreas dos êmbolos (área de círculo). Primeiro convertemos diâmetro em raio:
.
A área de um círculo é
. Portanto:
Repare que a unidade fica em
, mas ao formar a razão
as unidades e o fator
se cancelam.
Passo 4
Calcular a razão das áreas que aparece na relação de pressão:
Isso significa que a força necessária no êmbolo menor é
da força aplicada no êmbolo maior.
Passo 5
Calcular a força peso sobre o êmbolo maior:
Agora aplicar a relação para obter
:
Simplificando a fração:
Explicação: dividi numerador e denominador por
para simplificar:
e
.
Passo 6
Calcular a massa associada a essa força
. A massa
que teria peso igual a
satisfaz
, logo
Ou diretamente:
Simplificando (dividindo por
):
Observação didática: note que a aceleração da gravidade cancela quando pedimos a massa associada, por isso
.
Passo 7
Resumo e interpretação rápida (para a prova): colocar
no êmbolo grande exige uma força muito pequena no êmbolo pequeno porque a área do êmbolo grande é muito maior — o fator é
. Assim você “multiplica” a força aplicada no êmbolo pequeno pela razão inversa das áreas para levantar o peso maior.
Resposta
(a)
(b)
(b)