Considerando que as velocidades sejam positivas, o esquema upwind de primeira ordem e uma aproximação do tipo diferença centrada (no espaço) podem ser utilizados na discretização da equação de transporte bidimensional
& phij, k^n+1-phij^nDe<a t+u(phij, k^n-phij-1, k^nDe<a x)+v(phij, k^n-phij, k-1^nDe<a y) - & alphax(phij-1, k^n-2 phij, k^n+phij+1, k^nDe<a x^2)-alphay(phij, k-1^n-2 phij, k^n+phij, k+1^nDe<a y^2)=0
Esse método explícito é estável?
Exercício 15

Passo 1

Resumindo: temos a equação de transporte–difusão bidimensional
phij,k^n+1-phij,k^nDe<a t +uphij,k^n-phij-1,k^nDe<a x +vphij,k^n-phij,k-1^nDe<a y -alphaxphij-1,k^n-2phij,k^n+phij+1,k^nDe<a x^2 -alphayphij,k-1^n-2phij,k^n+phij,k+1^nDe<a y^2 =0
O conteúdo aqui é análise de estabilidade de um esquema explícito usando upwind (advecção) e diferença centrada (difusão). Vamos usar análise de Von Neumann para encontrar condições em De<a t.

Passo 2

Assumimos solução em modo de Fourier
phij,k^n = G^n e^i(thetax j+thetay k),
com thetax=kxDe<a x, thetay=kyDe<a y. Substituindo no esquema obtém-se o fator de amplificação
G = 1 - Cxl(1-e^-ithetaxr) - Cyl(1-e^-ithetayr) +2Dxl(costhetax-1r) +2Dyl(costhetay-1r),
onde definimos
Cx=u,De<a tDe<a x, Cy=v,De<a tDe<a y, Dx=alphax,De<a tDe<a x^2, Dy=alphay,De<a tDe<a y^2

Passo 3

Impondo lvert Grvert<=1 para todos thetax,thetay e separando os termos de advecção e difusão, chegam-se às condições clássicas:
  1. Estabilidade advectiva (CFL upwind)
Cx <= 1 e Cy <= 1
  1. Estabilidade difusiva (FTCS 2D)
Dx <= tfrac12 e Dy <= tfrac12,
ou, de forma combinada,
Dx + Dy <= tfrac12

Passo 4

Traduzindo em restrições práticas sobre De<a t:
De<a t <= minl( De<a xu, De<a yv, De<a x^22,alphax, De<a y^22,alphay r)
Isto garante Cx<=1, Cy<=1, Dx<=tfrac12, Dy<=tfrac12.

Resposta

O método explícito é condicionalmente estável, e exige
u,De<a tDe<a x<=1, v,De<a tDe<a y<=1, alphax,De<a tDe<a x^2+alphay,De<a tDe<a y^2<=tfrac12,
ou equivalentemente
De<a t<= minl(tfracDe<a xu,,tfracDe<a yv,, tfracDe<a x^22alphax,,tfracDe<a y^22alphayr)

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