Considerando que as velocidades sejam positivas, o esquema upwind de primeira ordem e uma aproximação do tipo diferença centrada (no espaço) podem ser utilizados na discretização da equação de transporte bidimensional
Esse método explícito é estável?
Exercício 15
Passo 1
Resumindo: temos a equação de transporte–difusão bidimensional
O conteúdo aqui é análise de estabilidade de um esquema explícito usando upwind (advecção) e diferença centrada (difusão). Vamos usar análise de Von Neumann para encontrar condições em
.
Passo 2
Assumimos solução em modo de Fourier
com
,
. Substituindo no esquema obtém-se o fator de amplificação
onde definimos
Passo 3
Impondo
para todos
e separando os termos de advecção e difusão, chegam-se às condições clássicas:
- Estabilidade advectiva (CFL upwind)
- Estabilidade difusiva (FTCS 2D)
ou, de forma combinada,
Passo 4
Traduzindo em restrições práticas sobre
:
Isto garante
,
,
,
.
Resposta
O método explícito é condicionalmente estável, e exige
ou equivalentemente