Da utilização do esquema FTCS obtemos
quando discretizamos a equação de difusão bidimensional. Esse esquema é consistente?
Exercício 14
Passo 1
O enunciado trata da equação de difusão bidimensional
e apresenta o esquema explícito FTCS
Pergunta-se se esse esquema é consistente, ou seja, se o erro de truncamento local tende a zero quando
.
Passo 2
Definimos o erro de truncamento local
substituindo a solução exata
no esquema:
Passo 3
Fazendo expansão de Taylor em
para o numerador temporal:
logo
Passo 4
Fazendo expansão de Taylor em
e agrupando o segundo diferença central:
de onde
Análogo em
:
Passo 5
Substituindo essas expansões em
e lembrando que a equação PDE impõe
, obtemos
O primeiro parêntese zera pela PDE, restando
Portanto o esquema é consistente.
Resposta
Sim. O erro de truncamento local é
que tende a zero conforme
, logo o esquema é consistente.