Da utilização do esquema FTCS obtemos
phij, k^n+1-phij, k^nDe<a t-alphax(phij-1, k^n-2 phij, k^n+phij+1, k^nDe<a x^2)-alphay(phij, k-1^n-2 phij, k^n+phij, k+1^nDe<a y^2)=0
quando discretizamos a equação de difusão bidimensional. Esse esquema é consistente?
Exercício 14

Passo 1

O enunciado trata da equação de difusão bidimensional
partial phipartial t ;=;alphax,partial^2 phipartial x^2 ;+;alphay,partial^2 phipartial y^2
e apresenta o esquema explícito FTCS
phij,k^n+1-phij,k^nDe<a t -alphaxphij-1,k^n-2phij,k^n+phij+1,k^nDe<a x^2 -alphayphij,k-1^n-2phij,k^n+phij,k+1^nDe<a y^2 =0
Pergunta-se se esse esquema é consistente, ou seja, se o erro de truncamento local tende a zero quando De<a t,De<a x,De<a yto0.

Passo 2

Definimos o erro de truncamento local tauj,k^n substituindo a solução exata phi(xj,yk,tn) no esquema:
tauj,k^n =phi(xj,yk,tn+De<a t)-phi(xj,yk,tn)De<a t -alphaxphi(xj-De<a x,yk,tn)-2phi(xj,yk,tn)+phi(xj+De<a x,yk,tn)De<a x^2 -alphayphi(xj,yk-De<a y,tn)-2phi(xj,yk,tn)+phi(xj,yk+De<a y,tn)De<a y^2,

Passo 3

Fazendo expansão de Taylor em t para o numerador temporal:
phi(xj,yk,tn+De<a t) =phi+De<a t,phit+De<a t^22,phitt+O(De<a t^3),
logo
phi(xj,yk,tn+De<a t)-phi(xj,yk,tn)De<a t =phit+De<a t2,phitt+O(De<a t^2)

Passo 4

Fazendo expansão de Taylor em x e agrupando o segundo diferença central:
phi(xjpmDe<a x,yk,tn) =phipmDe<a x,phix+De<a x^22,phixx pmDe<a x^36,phixxx +De<a x^424,phixxxx +O(De<a x^5),
de onde
phi(xj-De<a x)-2phi(xj)+phi(xj+De<a x) =De<a x^2,phixx+De<a x^412,phixxxx+O(De<a x^6)
Análogo em y:
phi(xj,yk-De<a y)-2phi+phi(xj,yk+De<a y) =De<a y^2,phiyy+De<a y^412,phiyyyy+O(De<a y^6)

Passo 5

Substituindo essas expansões em tauj,k^n e lembrando que a equação PDE impõe phit-alphaxphixx-alphayphiyy=0, obtemos
tauj,k^n =l(phit-alphaxphixx-alphayphiyyr) +De<a t2,phitt -alphaxDe<a x^212,phixxxx -alphayDe<a y^212,phiyyyy +O(De<a t^2+De<a x^4+De<a y^4)
O primeiro parêntese zera pela PDE, restando
tauj,k^n =O(De<a t)+O(De<a x^2)+O(De<a y^2) ;longrightarrow;0(De<a t,De<a x,De<a yto0)
Portanto o esquema é consistente.

Resposta

Sim. O erro de truncamento local é
tau=O(De<a t)+O(De<a x^2)+O(De<a y^2),
que tende a zero conforme De<a t,De<a x,De<a yto0, logo o esquema é consistente.

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