Se f(x)=(ln x)^x, então f^prime(e)=
(A) 12
(B) 2
(C) 1
(D) -12
(E) NRA

Passo 1

Resumindo: temos f(x)=(ln x)^x e queremos f'(e). Para isso, vamos usar derivação logarítmica, pois a variável aparece tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Definimos y=f(x)=(ln x)^x. Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos a função auxiliar
ln y = xln(ln x)

Passo 3

Derivando em relação a x, usando produto e cadeia, temos
y'y = ddxl[xln(ln x)r] = ln(ln x) + xcdot1ln xcdot1x = ln(ln x) + 1ln x
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y' = yl(ln(ln x) + 1ln xr)

Passo 4

Para x=e calculamos cada termo: ln e=1 implica ln(ln e)=ln1=0 e 1ln e=1. Assim
y'(e) = y(e)cdot(0+1) = (ln e)^e cdot 1 = 1^e = 1

Resposta

1

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