Considerando y=y(t), obtenha a solução geral das seguintes equações diferenciais:
3 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
3\,y'' - 4\,y' - 4\,y = 0,
onde y = y(t). Vamos usar o método do polinômio característico: assumimos y(t)=e^{r t} e encontramos os valores de r.

Passo 2

Substituindo y(t)=e^{r t} na equação, temos
y' = r e^{r t}, \quad y'' = r^2 e^{r t}.
Logo,
3\,r^2 e^{r t} - 4\,r e^{r t} - 4\,e^{r t} = 0.
Dividindo por e^{r t}\neq0, obtemos o polinômio característico
3r^2 - 4r - 4 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
3r^2 - 4r - 4 = 0,
calculamos o discriminante
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot3\cdot(-4) = 16 + 48 = 64.
Portanto,
r = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2\cdot3} = \frac{4 \pm 8}{6},
resultando em
r_1 = \frac{4+8}{6} = 2, \quad r_2 = \frac{4-8}{6} = -\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-\tfrac{2}{3}t}.

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