Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d t}=\frac{2 t y}{t^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dt} \;=\;\frac{2\,t\,y}{t^{2}-y^{2}},
que é homogênea porque o membro direito depende apenas da razão y/t. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v\,t,
ou seja, v = y/t.

Passo 2

Calculamos \tfrac{dy}{dt} em função de v:
\frac{dy}{dt} = v + t\,\frac{dv}{dt}.
Substituindo na equação original:
v + t\,\frac{dv}{dt} =\frac{2\,t\,(v\,t)}{t^{2}-(v\,t)^{2}} =\frac{2\,t^{2}v}{t^{2}(1-v^{2})} =\frac{2v}{1-v^{2}}.

Passo 3

Isolando dv/dt:
t\,\frac{dv}{dt} =\frac{2v}{1-v^{2}} - v =\frac{2v - v(1-v^{2})}{1-v^{2}} =\frac{v + v^{3}}{1-v^{2}} =\frac{v(1+v^{2})}{1-v^{2}}.
Logo
\frac{1-v^{2}}{v(1+v^{2})}\,dv = \frac{dt}{t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1-v^{2}}{v(1+v^{2})}\,dv = \int \frac{dt}{t}.
Para a parte em v fazemos decomposição em frações parciais e obtemos
\int\Bigl(\frac{1}{v} - \frac{2\,v}{1+v^{2}}\Bigr)dv = \ln\bigl|v\bigr| - \ln\bigl(1+v^{2}\bigr) = \ln\frac{|v|}{1+v^{2}}.
Do outro lado é
\int \frac{dt}{t} = \ln\bigl|t\bigr| + C.

Passo 5

Igualando as integrais e exponenciando, obtemos
\frac{|v|}{1+v^{2}} = K\,t,
onde K=e^{C} é constante. Absorvendo o sinal de v em K, podemos escrever
\frac{v}{1+v^{2}} = C\,t.
Voltando a y com v=y/t:
\frac{\tfrac{y}{t}}{1+\bigl(\tfrac{y}{t}\bigr)^{2}} =\;C\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{y\,t}{t^{2}+y^{2}} = C\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{t^{2}+y^{2}} = C.

Resposta

A solução geral implícita da equação é
\frac{y}{t^{2}+y^{2}} = C,
onde C é constante arbitrária.

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