Considerar el complejo:
.
a. Escribir
en forma binomial, trigonométrica y polar.
a. Escribir
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o número complexo $ z = \frac{2 t^{245}}{1 + i \sqrt{3}} $ nas formas binomial, trigonométrica e polar. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a forma a + bi, a forma trigonométrica $ r(\cos \theta + i \sin \theta) $ e a forma polar $ r e^{i\theta} $. Vamos precisar manipular a expressão para chegar em cada uma dessas formas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para escrever na forma binomial $ a + bi $. Para isso, vamos eliminar o denominador complexo multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
O conjugado de $ 1 + i \sqrt{3} $ é $ 1 - i \sqrt{3} $. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado:
Passo 3
Agora, vamos calcular o denominador:
Então, temos:
Passo 4
Distribuindo $ \frac{t^{245}}{2} $ na expressão:
Então, a forma binomial de $ z $ é:
Passo 5
Agora, vamos escrever $ z $ na forma trigonométrica. Primeiro, precisamos encontrar o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $ do número complexo.
O módulo $ r $ é dado por:
Passo 6
Para encontrar o argumento $ \theta $, usamos a tangente:
Sabemos que $ \tan \theta = -\sqrt{3} $ corresponde a $ \theta = -\frac{\pi}{3} $ (ou $ 300^\circ $) no círculo trigonométrico.
Passo 7
Agora, podemos escrever a forma trigonométrica:
Passo 8
Finalmente, a forma polar é escrita como:
Resposta
A expressão do número complexo $ z $ nas diferentes formas é:
- Forma binomial: $ z = \frac{t^{245}}{2} - i \frac{t^{245} \sqrt{3}}{2} $
- Forma trigonométrica: $ z = t^{245} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) $
- Forma polar: $ z = t^{245} e^{-i \frac{\pi}{3}} $