Considerar el complejo: z=2 t^2451+i raiz3.
a. Escribir z en forma binomial, trigonométrica y polar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o número complexo $ z = \frac{2 t^{245}}{1 + i \sqrt{3}} $ nas formas binomial, trigonométrica e polar. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a forma a + bi, a forma trigonométrica $ r(\cos \theta + i \sin \theta) $ e a forma polar $ r e^{i\theta} $. Vamos precisar manipular a expressão para chegar em cada uma dessas formas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para escrever na forma binomial $ a + bi $. Para isso, vamos eliminar o denominador complexo multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
O conjugado de $ 1 + i \sqrt{3} $ é $ 1 - i \sqrt{3} $. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado:
a + bi

Passo 3

Agora, vamos calcular o denominador:
(1)^2 - (i raiz3)^2 = 1 - (i^2)(3) = 1 - (-1)(3) = 1 + 3 = 4
Então, temos:
z = 2 t^245(1 - i raiz3)4 = 2 t^2454 (1 - i raiz3) = t^2452 (1 - i raiz3)

Passo 4

Distribuindo $ \frac{t^{245}}{2} $ na expressão:
t^2452
Então, a forma binomial de $ z $ é:
z = t^2452 cdot 1 - t^2452 cdot i raiz3 = t^2452 - i t^245 raiz32

Passo 5

Agora, vamos escrever $ z $ na forma trigonométrica. Primeiro, precisamos encontrar o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $ do número complexo.
O módulo $ r $ é dado por:
z

Passo 6

Para encontrar o argumento $ \theta $, usamos a tangente:
theta á
Sabemos que $ \tan \theta = -\sqrt{3} $ corresponde a $ \theta = -\frac{\pi}{3} $ (ou $ 300^\circ $) no círculo trigonométrico.

Passo 7

Agora, podemos escrever a forma trigonométrica:
z = r (cos theta + i sin theta) = t^245 ( cos(-pi3) + i sin(-pi3) )

Passo 8

Finalmente, a forma polar é escrita como:
z = r e^itheta = t^245 e^-i pi3

Resposta

A expressão do número complexo $ z $ nas diferentes formas é:
  • Forma binomial: $ z = \frac{t^{245}}{2} - i \frac{t^{245} \sqrt{3}}{2} $
  • Forma trigonométrica: $ z = t^{245} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) $
  • Forma polar: $ z = t^{245} e^{-i \frac{\pi}{3}} $

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