Sea el conjunto
. Encontrar, en caso que existan: cotas superiores e inferiores, supremo, máximo, ínfimo y mínimo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar o conjunto $ A = \left{ x \in \mathbb{R} \ \bigg| \ \frac{-3x^{2} + 13x - 4}{(3x - 1)(x + 2)} \geq 0 \right} $. Basicamente, queremos descobrir para quais valores de $ x $ essa fração é maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, encontrar os pontos críticos e analisar os intervalos resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar a análise. O numerador é $ -3x^{2} + 13x - 4 $. Podemos fatorar esse polinômio da seguinte maneira:
Agora, vamos fatorar $ 3x^{2} - 13x + 4 $. Procuramos dois números que multiplicados dão $ 3 \times 4 = 12 $ e somados dão $ -13 $. Esses números são $ -12 $ e $ -1 $. Então:
Portanto:
O denominador já está fatorado: $ (3x -1)(x + 2) $.
Então, nossa expressão original fica:
Passo 3
Agora, podemos simplificar a fração. Note que o fator $ (3x -1) $ está no numerador e no denominador, mas precisamos ter cuidado: esse fator não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Portanto, $ 3x -1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3} $.
Após simplificar, temos:
Vamos deixar assim para facilitar a análise:
Agora, temos que encontrar os valores de $ x $ que satisfazem essa inequação.
Passo 4
Para resolver a inequação $ \frac{4 - x}{x + 2} \geq 0 $, vamos identificar os pontos onde a expressão muda de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador são iguais a zero:
- Numerador: $ 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 $
- Denominador: $ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 $
Também lembramos que $ x = \frac{1}{3} $ está excluído devido à simplificação anterior.
Agora, vamos dividir a reta real em intervalos com base nesses valores críticos: $ x = -2 $, $ x = \frac{1}{3} $, e $ x = 4 $.
Os intervalos são:
- $ (-\infty, -2) $
- $ (-2, \frac{1}{3}) $
- $ (\frac{1}{3}, 4) $
- $ (4, +\infty) $
Passo 5
Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação $ \frac{4 - x}{x + 2} \geq 0 $ é verdadeira.
-
Intervalo $ (-\infty, -2) $:
- Escolhemos $ x = -3 $:
Não satisfaz a inequação. -
Intervalo $ (-2, \frac{1}{3}) $:
- Escolhemos $ x = 0 $:
Satisfaz a inequação. -
Intervalo $ (\frac{1}{3}, 4) $:
- Escolhemos $ x = 1 $:
Satisfaz a inequação. -
Intervalo $ (4, +\infty) $:
- Escolhemos $ x = 5 $:
Não satisfaz a inequação.
Além disso, precisamos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero ou não está definida:
-
Em $ x = 4 $:A desigualdade inclui zero, então $ x = 4 $ está em $ A $.
-
Em $ x = -2 $ e $ x = \frac{1}{3} $:
A expressão não está definida, então esses pontos não fazem parte de $ A $.
Passo 6
Com base na análise dos intervalos, o conjunto $ A $ é:
Agora, vamos identificar as propriedades pedidas:
- Cotas inferiores: o menor valor que $ A $ pode se aproximar, mas não inclui $ -2 $.
- Cotas superiores: o maior valor que $ A $ pode se aproximar, que é $ 4 $.
- Ínfimo: o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de $ A $, que é $ -2 $.
- Supremo: o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de $ A $, que é $ 4 $.
- Mínimo: o menor elemento de $ A $. Como $ A $ não inclui $ -2 $, não há mínimo.
- Máximo: o maior elemento de $ A $, que é $ 4 $.
Resposta
As cotas inferiores de $ A $ são $ -2 $, e as cotas superiores são $ 4 $. O ínfimo de $ A $ é $ -2 $, o supremo é $ 4 $. $ A $ não possui mínimo, mas possui máximo em $ 4 $.