Considerar as relações de entrada-saida para vários sistemas em tempo continuo e em tempo discreto, onde
ou
é a entrada. Verificar se as seguintes propriedades se aplicam:
-
-sem memória, linear, invariante no tempo, estável
II)
- linear, invariante no tempo, causal, estável
III)
- linear, invariante no tempo.
II)
III)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre sistemas de entrada e saída em tempo contínuo e discreto. A questão quer que a gente verifique se certas propriedades (como ser sem memória, linear, invariante no tempo, causal e estável) se aplicam a três sistemas diferentes. Para isso, vamos precisar lembrar o que cada uma dessas propriedades significa e como identificar se um sistema as possui.
Passo 2
Sistema I: $ y(t) = (2 + \sin t) x(t) $
Primeiro, vamos verificar se o sistema é sem memória. Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada naquele mesmo instante.
Sem memória:
No nosso caso, $ y(t) $ depende apenas de $ x(t) $ naquele instante, então o sistema é sem memória.
No nosso caso, $ y(t) $ depende apenas de $ x(t) $ naquele instante, então o sistema é sem memória.
Linearidade:
Um sistema é linear se satisfaz a superposição e a homogeneidade. Aqui, multiplicar $ x(t) $ por uma função $ (2 + \sin t) $ que depende do tempo não preserva essas propriedades, porque a função multiplicadora varia com o tempo.
Um sistema é linear se satisfaz a superposição e a homogeneidade. Aqui, multiplicar $ x(t) $ por uma função $ (2 + \sin t) $ que depende do tempo não preserva essas propriedades, porque a função multiplicadora varia com o tempo.
Portanto, o sistema não é linear.
Invariante no tempo:
Um sistema é invariante no tempo se deslocar o sinal de entrada no tempo resulta em um deslocamento igual na saída. Como $ (2 + \sin t) $ muda com o tempo, se a entrada for deslocada, a saída não será simplesmente um deslocamento da original.
Um sistema é invariante no tempo se deslocar o sinal de entrada no tempo resulta em um deslocamento igual na saída. Como $ (2 + \sin t) $ muda com o tempo, se a entrada for deslocada, a saída não será simplesmente um deslocamento da original.
Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Estabilidade:
Um sistema é estável se entradas limitadas resultam em saídas limitadas. Aqui, $ (2 + \sin t) $ é uma função limitada (já que $ \sin t $ varia entre -1 e 1), então a multiplicação com $ x(t) $ limitado também resulta em $ y(t) $ limitado.
Um sistema é estável se entradas limitadas resultam em saídas limitadas. Aqui, $ (2 + \sin t) $ é uma função limitada (já que $ \sin t $ varia entre -1 e 1), então a multiplicação com $ x(t) $ limitado também resulta em $ y(t) $ limitado.
Portanto, o sistema é estável.
Passo 3
Sistema II: $ y(t) = x(2t) $
Linearidade:
A operação $ x(2t) $ é uma operação de compressão no tempo, que preserva a superposição e a homogeneidade. Portanto, o sistema é linear.
A operação $ x(2t) $ é uma operação de compressão no tempo, que preserva a superposição e a homogeneidade. Portanto, o sistema é linear.
Invariante no tempo:
Para verificar a invariância no tempo, deslocamos a entrada:
Se $ x(t) $ se torna $ x(t - t_0) $, então $ y(t) = x(2t - t_0) $.
Isso não é igual a $ y(t - t_0) = x(2(t - t_0)) $, a menos que $ t_0 = 0 $.
Para verificar a invariância no tempo, deslocamos a entrada:
Se $ x(t) $ se torna $ x(t - t_0) $, então $ y(t) = x(2t - t_0) $.
Isso não é igual a $ y(t - t_0) = x(2(t - t_0)) $, a menos que $ t_0 = 0 $.
Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Causalidade:
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas de valores presentes e passados da entrada. Aqui, $ y(t) = x(2t) $ depende apenas de $ x $ no tempo $ 2t $. Para $ t > 0 $, $ 2t > t $, o que pode depender de futuros valores de $ x $.
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas de valores presentes e passados da entrada. Aqui, $ y(t) = x(2t) $ depende apenas de $ x $ no tempo $ 2t $. Para $ t > 0 $, $ 2t > t $, o que pode depender de futuros valores de $ x $.
Portanto, o sistema não é causal.
Estabilidade:
Como no sistema I, a operação de compressão no tempo não afeta a amplitude da entrada. Se $ x(t) $ é limitado, então $ y(t) = x(2t) $ também será limitado.
Como no sistema I, a operação de compressão no tempo não afeta a amplitude da entrada. Se $ x(t) $ é limitado, então $ y(t) = x(2t) $ também será limitado.
Portanto, o sistema é estável.
Passo 4
Sistema III: $ y(k) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) $
Linearidade:
A soma infinita de $ x(k) $ preserva a superposição e a homogeneidade, então o sistema é linear.
A soma infinita de $ x(k) $ preserva a superposição e a homogeneidade, então o sistema é linear.
Invariante no tempo:
Se deslocarmos a entrada, $ x(k - k_0) $, a soma ainda será a mesma, pois estamos somando todos os valores. Portanto, o sistema é invariante no tempo.
Se deslocarmos a entrada, $ x(k - k_0) $, a soma ainda será a mesma, pois estamos somando todos os valores. Portanto, o sistema é invariante no tempo.
Passo 5
Observação sobre a Estabilidade no Sistema III:
Embora não tenha sido pedido, vale mencionar que esse sistema pode não ser estável. Se a soma $ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) $ não convergir, a saída pode ser infinita, mesmo com entradas limitadas.
Embora não tenha sido pedido, vale mencionar que esse sistema pode não ser estável. Se a soma $ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) $ não convergir, a saída pode ser infinita, mesmo com entradas limitadas.
Resposta
- Sistema I: Sem memória, não linear, não invariante no tempo, estável.
- Sistema II: Linear, não invariante no tempo, não causal, estável.
- Sistema III: Linear, invariante no tempo.