Determinar se cada um dos seguintes sinais em tempo continuo
ou discreto
é periódico e, caso seja, determinar seu periodo fundamental. No item b), calcular a potência.
(a)
, (b)
©
(d)
(Assumir que
é periódico com periodo fundamental
)
(a)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se cada um dos sinais dados é periódico, ou seja, se eles se repetem ao longo do tempo ou dos instantes. Se forem periódicos, temos que encontrar o período fundamental, que é o menor intervalo após o qual o sinal se repete. No item (b), além disso, vamos calcular a potência do sinal. Para isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos em tempo contínuo e discreto, além de entender um pouco sobre potência de sinais.
Passo 2
Vamos começar com o item (a): $ x(k) = \cos\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) + 3\cos(2\pi k) $.
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \cos\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) $:
Então,
Portanto, o sinal fica:
Passo 3
Agora, para verificar se $ x(k) $ é periódico, precisamos identificar os períodos dos componentes individuais.
- O termo constante $ -1 $ é um sinal periódico com qualquer período, pois não muda.
- O termo $ \cos(2\pi k) $ é um sinal discreto. Em geral, o cosseno discreto $ \cos(\omega_0 k) $ é periódico se $ \frac{\omega_0}{2\pi} $ for uma razão racional.
Aqui, $ \omega_0 = 2\pi $, então:
O que é uma razão inteira (racional). Portanto, $ \cos(2\pi k) $ é periódico.
Passo 4
Para encontrar o período fundamental $ N $ de $ x(k) $, consideramos os períodos dos componentes. O período de $ \cos(2\pi k) $ é $ 1 $, já que:
Como o termo constante também se repete a cada intervalo, o período fundamental de $ x(k) $ é $ N = 1 $.
Passo 5
Vamos para o item (b): $ x(t) = 2e^{j5t} $.
Primeiro, lembramos que:
Portanto, $ x(t) = 2e^{j5t} $ é um sinal complexo harmônico com frequência angular $ \omega = 5 $ rad/s.
Passo 6
Para verificar se $ x(t) $ é periódico, usamos a condição de periodicidade para sinais exponenciais complexos:
Isso acontece se $ \omega T = 2\pi n $, onde $ n $ é um inteiro positivo. Assim:
Para o menor período, escolhemos $ n = 1 $:
Portanto, $ x(t) $ é periódico com período fundamental $ T = \frac{2\pi}{5} $ segundos.
Passo 7
Agora, vamos calcular a potência de $ x(t) = 2e^{j5t} $.
A potência média $ P $ de um sinal complexo periódico $ x(t) $ é dada por:
Para sinais exponenciais complexos, temos:
Então:
Portanto, a potência de $ x(t) $ é $ P = 4 $ unidades de potência.
Resposta
(a) O sinal $ x(k) = -1 + 3\cos(2\pi k) $ é periódico com período fundamental $ N = 1 $.
(b) O sinal $ x(t) = 2e^{j5t} $ é periódico com período fundamental $ T = \frac{2\pi}{5} $ segundos e possui potência igual a $ 4 $.