Resolva a equação diferencial usando variação dos parâmetros.
y^prime prime-y^prime=e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y''-y'=e^x usando variação de parâmetros. O conteúdo é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso vamos precisar achar primeiro a solução geral da homogênea e depois um particular via variação de parâmetros.

Passo 2

A parte homogênea é y''-y'=0. Montamos a equação característica:
r^2 - r = 0
que dá as raízes r=0 e r=1. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1e^0x + C2e^1x = C1 + C2e^x
Escolhemos como soluções fundamentais y1=1 e y2=e^x. Calculamos o Wronskiano:
W = y1 & y2 y1' & y2' = 1 & e^x 0 & e^x = e^x

Passo 3

O termo não homogêneo é g(x)=e^x. As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1' = -y2,gW = -e^xcdot e^xe^x = -e^x,
u2' = y1,gW = 1cdot e^xe^x = 1
Integramos para achar nu1 e nu2:
$$\nu_1(x) = -\int e^x,dx = -e^x,
$$
$$\nu_2(x) = \int 1,dx = x.
$$

Passo 4

A solução particular é
yp = nu1y1 + nu2y2 = (-e^x)cdot1 + xcdot e^x = e^x(x-1)
Portanto a solução geral da equação é
y(x) = yh + yp = C1 + C2e^x + e^x(x-1)

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e{x}+e{x}(x-1)

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