Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a:
f(x, y)=xe^y-ye^x ; P(0,0) ; a=5 i-2 j

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de uma função de duas variáveis em um ponto, na direção de um vetor dado. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: precisamos usar o gradiente da função e projetá-lo sobre o vetor direção normalizado.

Passo 2

Primeiro vamos achar o gradiente de f, cu componentes são as derivadas parciais. Temos f(x,y)=x e^y−y e^x, logo
partial fpartial x=e^y−y e^x
e
partial fpartial y=x e^y−e^x
No ponto P(0,0) isso vira
nabla f(0,0)=l(e^0−0·e^0,;0·e^0−e^0r)=(1,−1)

Passo 3

Agora precisamos da direção unitária de a=5i−2j. Seu módulo é
|a|=raiz5^2+(-2)^2=raiz29
Logo o versor é u=(5/\sqrt{29},−2/\sqrt{29}). A derivada direcional é o produto escalar
Duf(0,0)=nabla f(0,0)cdot u=(1,−1)cdotl(5raiz29,-2raiz29r)=5+2raiz29=7raiz29

Resposta

7raiz29

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