Considerar as relações de entrada-saída para vários sistemas em tempo continuo e em tempo discreto, onde
ou
é a entrada. Verificar se as seguintes propriedades se aplicam:
linear, invariante no tempo, causal, estável.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa analisar um sistema que, em tempo discreto, tem a relação de entrada-saída dada por $ y(k) = k \cdot x(2k) $. As propriedades que vamos verificar são: linearidade, invariância no tempo, causalidade e estabilidade. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa e como testá-las no sistema dado.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o sistema é linear. Um sistema é linear se ele satisfaz duas coisas: adição e homogeneidade. Isso significa que, se a entrada for uma soma de sinais, a saída deve ser a soma das saídas individuais, e se a entrada for multiplicada por uma constante, a saída também é multiplicada pela mesma constante.
Vamos testar isso:
Se $ x_1(k) $ tem saída $ y_1(k) = k \cdot x_1(2k) $ e $ x_2(k) $ tem saída $ y_2(k) = k \cdot x_2(2k) $, então para uma entrada $ a \cdot x_1(k) + b \cdot x_2(k) $, a saída seria:
Isso mostra que o sistema é linear porque a saída responde de forma proporcional à combinação das entradas.
Passo 3
Agora, vamos ver se o sistema é invariante no tempo. Isso significa que se a entrada for atrasada em algum número de amostras, a saída também deve ser atrasada pelo mesmo número de amostras.
Vamos considerar uma entrada retardada $ x(k - k_0) $. A saída seria:
Se a entrada for $ x(k - k_0) $, a saída deveria ser $ y(k - k_0) = (k - k_0) \cdot x(2(k - k_0)) $.
Comparando com aplicar o atraso na saída original:
Como isso coincide com a saída calculada, o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
Vamos verificar a causalidade do sistema. Um sistema causal é aquele onde a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não dos futuros.
No nosso sistema, a saída $ y(k) = k \cdot x(2k) $ depende de $ x(2k) $. Em tempo discreto, $ 2k $ pode ser interpretado como um atraso ou avanço no tempo dependendo do contexto.
Se considerarmos que $ k $ representa o tempo presente, $ x(2k) $ pode se referir a um instante no futuro (se $ k $ aumenta), o que implicaria dependência de valores futuros da entrada. Isso significa que o sistema não é causal porque depende de futuros valores de $ x $.
Passo 5
Por último, vamos verificar se o sistema é estável. Um sistema é estável se, para toda entrada limitada, a saída também é limitada. Em termos matemáticos, se $ |x(k)| \leq B $ para algum $ B $, então $ |y(k)| \leq M $ para algum $ M $.
No nosso caso, $ y(k) = k \cdot x(2k) $. Mesmo que $ x(2k) $ seja limitado, o termo $ k $ cresce indefinidamente conforme $ k $ aumenta, o que faz com que $ y(k) $ possa se tornar ilimitado. Portanto, o sistema não é estável.
Resposta
Então, resumindo:
- Linear: Sim, o sistema é linear.
- Invariante no tempo: Sim, o sistema é invariante no tempo.
- Causal: Não, o sistema não é causal.
- Estável: Não, o sistema não é estável.