Considerar as relações de entrada-saída para vários sistemas em tempo continuo e em tempo discreto, onde
ou
é a entrada. Verificar se as seguintes propriedades se aplicam:
-sem memória, linear, invariante no tempo, causal, estável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma relação de entrada-saída definida por $ y(t) = \int_{0}^{t} x(t-\tau) e^{-\tau} d \tau $ e precisa verificar se esse sistema é sem memória, linear, invariável no tempo, causal e estável. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e tempo contínuo. Vamos checar cada propriedade passo a passo.
Passo 2
Sistema é sem memória?
Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante $ t $ depende apenas da entrada nesse mesmo instante $ t $.
No nosso caso, $ y(t) $ depende de $ x(t-\tau) $ para $ \tau $ variando de 0 a $ t $. Isso significa que $ y(t) $ depende de valores passados de $ x $, ou seja, quando $ \tau > 0 $.
Como a saída depende de valores passados da entrada, o sistema não é sem memória.
Passo 3
Sistema é linear?
Um sistema é linear se satisfaz dois princípios:
- Homogeneidade: Se a entrada é multiplicada por uma constante, a saída também é multiplicada por essa constante.
- Aditividade: A resposta a uma soma de entradas é a soma das respostas a cada entrada individualmente.
Vamos analisar $ y(t) = \int_{0}^{t} x(t-\tau) e^{-\tau} d \tau $.
-
Homogeneidade: Se $ x_1(t) $ é a entrada e $ y_1(t) $ a saída, então para uma constante $ a $, a entrada $ a x_1(t) $ resulta em $ a y_1(t) $.
-
Aditividade: Se temos duas entradas $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $, então a saída para $ x_1(t) + x_2(t) $ será $ y_1(t) + y_2(t) $.
Como ambas as condições são satisfeitas, o sistema é linear.
Passo 4
Sistema é invariante no tempo?
Um sistema é invariante no tempo se, ao aplicar um deslocamento no tempo na entrada, a saída sofre o mesmo deslocamento.
Vamos deslocar a entrada em $ t_0 $: $ x(t - t_0) $.
A saída seria:
Fazendo a mudança de variável $ \tau’ = \tau + t_0 $, podemos notar que o sistema não mantém a forma original da integral após o deslocamento, o que indica que a saída não é apenas um deslocamento da saída original.
Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 5
Sistema é causal?
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante $ t $ depende apenas de valores da entrada em instantes $ \tau \leq t $.
No nosso caso, $ y(t) = \int_{0}^{t} x(t-\tau) e^{-\tau} d \tau $. Aqui, $ t - \tau $ varia de $ t $ a 0 quando $ \tau $ varia de 0 a $ t $. Portanto, a saída depende apenas de valores da entrada até o instante atual $ t $.
Logo, o sistema é causal.
Passo 6
Sistema é estável?
Um sistema é estável (no sentido de BIBO - Bounded Input, Bounded Output) se uma entrada limitada resulta em uma saída também limitada.
Assumindo que $ |x(t)| \leq M $ para algum $ M $, temos:
Como a integral de $ e^{-\tau} $ de 0 a infinito é 1, então $ |y(t)| \leq M $.
Portanto, o sistema é estável.
Resposta
Resumindo, o sistema definido por $ y(t) = \int_{0}^{t} x(t-\tau) e^{-\tau} d \tau $ não é sem memória, é linear, não é invariante no tempo, é causal e é estável.