A equação
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0
onde alpha é uma constante maior que -1 , e conhecida como equação de Legendre. Esta equação é extremamente importante em física matemática, aparecendo em muitos problemas tridimensionais com simetria esférica - e.g. esfera eletricamente carregada, solução do átomo de hidrogênio, campo gravitacional exterior a uma estrela, etc.
© Mostre que se alpha for um inteiro par não negativo ( 2 n com n in N ) a solução em série y1 se reduz a um polinômio de grau 2 n. Encontre os polinômios correspondentes a alpha=0,2 e 4 .

Passo 1

No primeiro passo resumimos o enunciado: a equação de Legendre
(1 - x^2)y'' - 2xy' + alpha(alpha+1)y = 0
e queremos mostrar que, quando alpha = 2n com n in N, a solução em série y1(x) se reduz a um polinômio de grau 2n. Em seguida, vamos encontrar explicitamente os polinômios para alpha = 0,2,4.

Passo 2

Para resolver usamos o método de séries de potências. Assumimos uma solução do tipo
y1(x) = sumk=0^infty ak x^k
e, como a equação é par em x, surgem só os termos de potências pares. Definimos ak = 0 para ímpares e trabalhamos com a2m.

Passo 3

Substituindo a série na equação e igualando coeficientes de x^k obtemos a relação de recorrência
ak+2 = (k - alpha)(k + alpha + 1)(k+2)(k+1),ak
Essa fórmula indica como gerar cada coeficiente ak+2 a partir de ak.

Passo 4

Quando alpha = 2n, basta observar o numerador em k = 2n:
(2n - 2n)(2n + 2n + 1) = 0
Logo a2n+2 = 0 e, por recorrência, todos os ak com k > 2n também são zero. Dessa forma, y1(x) corta a série e vira um polinômio de grau 2n.

Passo 5

No caso alpha = 0 (ou seja, n=0), a recorrência dá
a2 = (0-0)(0+1)2cdot1a0 = 0,
então a única constante não nula é a0 e escolhemos a normalização padrão para obter
P0(x)=1

Passo 6

Para alpha = 2 ( n=1), a recorrência dá
a2 = (0-2)(0+3)2cdot1a0 = -3a0,
e depois a4=0. Assim
y1(x)=a0(1 - 3x^2)
Normalizando por y1(1)=1 resulta
P2(x)=12(3x^2 - 1)

Passo 7

Para alpha = 4 ( n=2), a recorrência dá
a2 = (0-4)(0+5)2cdot1a0 = -10a0,
a4 = (2-4)(2+5)4cdot3a2 = 353a0,
e a6=0. Logo
y1(x)=a0l(1 - 10x^2 + tfrac353x^4r)
Normalizando por y1(1)=1 obtemos
P4(x)=18(35x^4 - 30x^2 + 3)

Resposta

Os polinômios de Legendre correspondentes são:
P0(x)=1,
P2(x)=tfrac12,(3x^2-1),
P4(x)=tfrac18,(35x^4 - 30x^2 +3)

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