A equação
onde
é uma constante maior que -1 , e conhecida como equação de Legendre. Esta equação é extremamente importante em física matemática, aparecendo em muitos problemas tridimensionais com simetria esférica - e.g. esfera eletricamente carregada, solução do átomo de hidrogênio, campo gravitacional exterior a uma estrela, etc.
© Mostre que se
for um inteiro par não negativo (
com
) a solução em série
se reduz a um polinômio de grau
. Encontre os polinômios correspondentes a
e 4 .
© Mostre que se
Passo 1
No primeiro passo resumimos o enunciado: a equação de Legendre
e queremos mostrar que, quando
Passo 2
Para resolver usamos o método de séries de potências. Assumimos uma solução do tipo
e, como a equação é par em
Passo 3
Substituindo a série na equação e igualando coeficientes de
obtemos a relação de recorrência
Essa fórmula indica como gerar cada coeficiente
Passo 4
Quando
, basta observar o numerador em
:
Logo
Passo 5
No caso
(ou seja,
), a recorrência dá
então a única constante não nula é
Passo 6
Para
(
), a recorrência dá
e depois
Normalizando por
resulta
Passo 7
Para
(
), a recorrência dá
e
Normalizando por
obtemos
Resposta
Os polinômios de Legendre correspondentes são: