Encontre os pontos singulares das equações abaixo e determine se eles são pontos regulares ou irregulares.
© (x+2)^2(x-1) y^prime prime+3(x-1) y^prime-2(x+2)=0 Res: x=1 (regular); x=-2 (irregular).

Passo 1

Estamos com a equação diferencial de segunda ordem (x+2)^2(x-1)y''+3(x-1)y'-2(x+2)=0 e queremos achar seus pontos singulares e classificá-los como regulares ou irregulares. Vamos usar a teoria de pontos singulares em ODEs lineares.

Passo 2

Primeiro, identificamos o coeficiente da derivada de maior ordem, que é a2(x)=(x+2)^2(x-1). Os pontos singulares ocorrem onde a2(x)=0, ou seja, em x=-2 e em x=1.

Passo 3

Para aplicar o critério de regularidade, convertemos a equação para a forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0, dividindo tudo por (x+2)^2(x-1). Isso dá:
y''+3(x-1)(x+2)^2(x-1)y'-2(x+2)(x+2)^2(x-1)=0

Passo 4

Podemos simplificar os coeficientes:
y''+3(x+2)^2,y'-2(x+2)(x-1)=0

Passo 5

Aqui temos P(x)=3(x+2)^2 e Q(x)=-2(x+2)(x-1). Agora analisamos cada ponto singular:

Passo 6

No ponto x=1, P(x) é analítica (denominador (1+2)^2neq0), logo polo de ordem 0 em P (que é ≤1). Em Q(x), aparece um polo simples (ordem 1 ≤2). Isso satisfaz as condições de ponto singular regular.

Passo 7

No ponto x=-2, P(x)=3/(x+2)^2 tem um polo de ordem 2 (>1), o que já quebra a condição para ser ponto regular, tornando-o irregular (mesmo que Q(x) tenha polo de ordem 1 ≤2).

Resposta

x=1 (regular); x=-2 (irregular)

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