Encontre os pontos singulares das equações abaixo e determine se eles são pontos regulares ou irregulares.
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Res:
(regular);
(irregular).
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Passo 1
Estamos com a equação diferencial de segunda ordem
e queremos achar seus pontos singulares e classificá-los como regulares ou irregulares. Vamos usar a teoria de pontos singulares em ODEs lineares.
Passo 2
Primeiro, identificamos o coeficiente da derivada de maior ordem, que é
. Os pontos singulares ocorrem onde
, ou seja, em
e em
.
Passo 3
Para aplicar o critério de regularidade, convertemos a equação para a forma padrão
, dividindo tudo por
. Isso dá:
Passo 4
Podemos simplificar os coeficientes:
Passo 5
Aqui temos
e
. Agora analisamos cada ponto singular:
Passo 6
No ponto
,
é analítica (denominador
), logo polo de ordem 0 em
(que é ≤1). Em
, aparece um polo simples (ordem 1 ≤2). Isso satisfaz as condições de ponto singular regular.
Passo 7
No ponto
,
tem um polo de ordem 2 (>1), o que já quebra a condição para ser ponto regular, tornando-o irregular (mesmo que
tenha polo de ordem 1 ≤2).
Resposta
x=1 (regular); x=-2 (irregular)