Consideraremos agora a superposição de funções de onda de diferentes energias no problema da partícula no poço infinito. Em particular, considere a função de onda Psi(x, t) formada pela superposição do estado fundamental Psi1(x, t) (de energia E1 ) e do primeiro estado excitado Psi2(x, t) (de energia E2 ):
(a) Calcule a energia média para esta função de onda Psi(x, t). Resposta: lang<= Erang<==a^2 E1+b^2 E2.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre física quântica, especificamente sobre funções de onda em um poço infinito de potencial. A questão fala sobre uma função de onda que é uma superposição do estado fundamental Psi1(x, t), que tem uma energia E1, e do primeiro estado excitado Psi2(x, t), com energia E2. Nosso objetivo aqui é calcular a energia média dessa função de onda combinada, ou seja, lang<= E rang<=.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superposição de estados quânticos. Quando combinamos duas funções de onda, como Psi1 e Psi2, estamos criando uma nova função de onda que descreve a partícula em uma mistura desses dois estados. Matematicamente, essa superposição é representada por:
Psi(x, t) = a Psi1(x, t) + b Psi2(x, t)
Aqui, a e b são coeficientes que indicam a contribuição de cada estado na superposição.

Passo 3

Agora, para calcular a energia média lang<= E rang<=, usamos a fórmula esperada da energia em mecânica quântica:
lang<= E rang<= = integral Psi^*(x, t) H Psi(x, t) , dx
Onde Psi^* é a função de onda conjugada e H é o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema.

Passo 4

No caso do poço infinito de potencial, os estados Psi1 e Psi2 são soluções próprias do Hamiltoniano, ou seja:
H Psi1(x, t) = E1 Psi1(x, t)
H Psi2(x, t) = E2 Psi2(x, t)
Isso simplifica muito a nossa vida porque podemos substituir H Psi1 por E1 Psi1 e assim por diante.

Passo 5

Vamos substituir a superposição na expressão da energia média:
lang<= E rang<= = integral (a Psi1^* + b Psi2^*) H (a Psi1 + b Psi2) , dx
Expandindo o produto, temos:
lang<= E rang<= = a^2 integral Psi1^* H Psi1 , dx + ab integral Psi1^* H Psi2 , dx + ab integral Psi2^* H Psi1 , dx + b^2 integral Psi2^* H Psi2 , dx

Passo 6

Como Psi1 e Psi2 são estados próprios diferentes, as integrais cruzadas integral Psi1^* H Psi2 , dx e integral Psi2^* H Psi1 , dx são zero devido à ortogonalidade dos estados. Portanto, restam apenas os termos:
lang<= E rang<= = a^2 E1 + b^2 E2

Resposta

A energia média da função de onda Psi(x, t) é dada por:
lang<= E rang<= = a^2 E1 + b^2 E2

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