Consideraremos agora a superposição de funções de onda de diferentes energias no problema da partícula no poço infinito. Em particular, considere a função de onda
formada pela superposição do estado fundamental
(de energia
) e do primeiro estado excitado
(de energia
):
(a) Calcule a energia média para esta função de onda
. Resposta:
.
(a) Calcule a energia média para esta função de onda
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre física quântica, especificamente sobre funções de onda em um poço infinito de potencial. A questão fala sobre uma função de onda que é uma superposição do estado fundamental
, que tem uma energia
, e do primeiro estado excitado
, com energia
. Nosso objetivo aqui é calcular a energia média dessa função de onda combinada, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superposição de estados quânticos. Quando combinamos duas funções de onda, como
e
, estamos criando uma nova função de onda que descreve a partícula em uma mistura desses dois estados. Matematicamente, essa superposição é representada por:
Aqui,
e
são coeficientes que indicam a contribuição de cada estado na superposição.
Passo 3
Agora, para calcular a energia média
, usamos a fórmula esperada da energia em mecânica quântica:
Onde
é a função de onda conjugada e
é o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema.
Passo 4
No caso do poço infinito de potencial, os estados
e
são soluções próprias do Hamiltoniano, ou seja:
Isso simplifica muito a nossa vida porque podemos substituir
por
e assim por diante.
Passo 5
Vamos substituir a superposição na expressão da energia média:
Expandindo o produto, temos:
Passo 6
Como
e
são estados próprios diferentes, as integrais cruzadas
e
são zero devido à ortogonalidade dos estados. Portanto, restam apenas os termos:
Resposta
A energia média da função de onda
é dada por: