Considere a Terra e a Lua como um sistema isolado e mostre que cada uma descreve uma elipse em relação ao centro de massa do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente considerar a Terra e a Lua como um sistema isolado e mostrar que cada uma delas descreve uma elipse em relação ao centro de massa do sistema. Estamos falando de Mecânica Celeste, especificamente do Problema dos Dois Corpos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o centro de massa e as leis de movimento de Newton aplicadas a dois corpos que se atraem mutuamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. É um ponto imaginário onde toda a massa do sistema pode ser considerada concentrada para fins de análise de movimento. Para dois corpos, como a Terra e a Lua, a posição do centro de massa depende das massas dos dois e da distância entre elas.
A fórmula para encontrar o centro de massa ($ R $) entre dois corpos é:
onde $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas da Terra e da Lua, e $ r_1 $ e $ r_2 $ são as posições de cada um em relação a um ponto de referência comum.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as leis de Kepler, que descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol, mas que também valem para qualquer par de corpos que se atraem gravitacionalmente, como a Terra e a Lua. A primeira lei de Kepler diz que as órbitas dos corpos são elipses com o centro de massa em um dos focos.
Isso significa que, embora a Terra seja muito mais massiva que a Lua, ela também orbita o centro de massa do sistema Terra-Lua, embora esse ponto esteja muito próximo do centro da Terra devido à grande diferença de massa.
Passo 4
Para mostrar que as órbitas são elipses, usamos a Lei da Gravitação Universal de Newton, que afirma que a força de atração entre dois corpos é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles:
Essa força age como a força centrípeta que mantém cada corpo na sua trajetória elíptica ao redor do centro de massa.
Passo 5
Com essas informações, podemos concluir que, devido à interação gravitacional e à conservação do momento, ambos os corpos (Terra e Lua) descrevem órbitas elípticas em torno do centro de massa do sistema. A excentricidade dessas elipses depende das condições iniciais do sistema, mas a forma geral é uma elipse conforme descrito pelas leis de Kepler.
Resposta
Portanto, ao considerar a Terra e a Lua como um sistema isolado, cada um deles realmente descreve uma trajetória elíptica em relação ao centro de massa do sistema, conforme as leis da Mecânica Celeste e a Lei da Gravitação Universal de Newton.