Um revolver de massa
dispara uma bala de massa
onde
é uma pequena fração. Se
é a velocidade da bala quando ela abandona o cano do revólver, qual é a velocidade de recuo do revólver?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um revólver com uma certa massa, $ m $, que dispara uma bala que tem uma massa menor, $ \gamma m $, onde $ \gamma $ é uma fração bem pequena. Quando a bala sai do cano do revólver, ela tem uma velocidade $ v_0 $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade com que o revólver vai “recuar” ou se mover para trás depois do disparo.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de conservação da quantidade de movimento (momentum). Esse é um princípio da física que diz que, se não tem forças externas agindo, a quantidade total de movimento de um sistema permanece constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é a quantidade de movimento. A quantidade de movimento, ou momentum, é dada pelo produto da massa de um objeto pela sua velocidade:
Onde:
- $ p $ é a quantidade de movimento,
- $ m $ é a massa,
- $ v $ é a velocidade.
No nosso caso, temos dois objetos: o revólver e a bala. Antes do disparo, ambos estão parados, então a quantidade de movimento total do sistema é zero.
Passo 3
Quando o revólver dispara a bala, a bala ganha uma quantidade de movimento para frente, e o revólver ganha uma quantidade de movimento para trás (recuo). Segundo a conservação da quantidade de movimento, a quantidade total de movimento após o disparo também deve ser zero.
Vamos chamar a velocidade de recuo do revólver de $ v_r $.
Então, temos:
Expressando isso matematicamente:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ v_r $, a velocidade de recuo do revólver.
Primeiro, vamos simplificar a equação:
Podemos fatorar o $ m $:
Como $ m $ não é zero, podemos dividir os dois lados da equação por $ m $:
Agora, isolamos $ v_r $:
Resposta
A velocidade de recuo do revólver é $ v_r = -\gamma v_0 $.