Se considerarmos os valores
como uma população, o desvio-padrão pode ser calculado pela fórmula
Esta fórmula é equivalente à Fórmula
, modificada pela divisão por
em lugar de
, onde o conjunto de dados consiste nos valores
.
Calcule o desvio-padrão da população
.
Calcule o desvio-padrão da população
Passo 1
O enunciado dá a população formada pelos números
e fornece a fórmula do desvio-padrão dessa população:
Pede-se que eu calcule o desvio-padrão da população
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
O que significa essa fórmula e cada símbolo nela? Vou explicar devagarinho.
-
é o desvio-padrão da população; é uma medida de dispersão que indica, em média, quanto os elementos da população se afastam da média. -
é o número de elementos da população. No nosso caso, a população é , então também é o maior número do conjunto.
A fórmulajá incorpora o cálculo da variância média dos inteiros de a (ou seja, é a variância populacional, por isso dividimos por e não por ). Não preciso demonstrar a derivação completa aqui, mas o importante é saber usar a fórmula com .
Passo 3
Agora substituo
na fórmula e faço a simplificação algébrica passo a passo:
Calculo
:
Logo
Passo 4
Faço uma simplificação da fração
. Note que
e
, portanto
Assim
Essa é uma forma exata e bem bonita para o desvio-padrão. Agora quero uma aproximação numérica para usar na prova ou para conferir resultados.
Passo 5
Vou obter uma aproximação decimal de
. Como
(porque
), posso estimar a raiz quadrada fazendo uma busca entre inteiros e refinando. Primeiro, observo:
logo
está entre
e
. Faço um refinamento com números com duas casas decimais para facilitar:
Calculo
Como
está entre esses dois valores, a raiz está entre
e
. Agora uso interpolação linear (uma forma simples de refinar sem calculadora): a distância entre os quadrados é
A diferença entre o nosso alvo
e
é
A fração da distância é
. Multiplicando esse fator pelo incremento de
(que é a largura do intervalo entre
e
) obtemos aproximadamente
. Portanto
Passo 6
Posso também escrever a forma exata e a aproximação para usar direto na prova. A forma exata obtida foi
e a aproximação numérica, com precisão prática suficiente para prova, é
. Vai dar pra conferir direitinho na hora da prova — respira que está ótimo!