Se considerarmos os valores 1,2,3, \ldots, n como uma população, o desvio-padrão pode ser calculado pela fórmula
\sigma=\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}
Esta fórmula é equivalente à Fórmula 2-4, modificada pela divisão por n em lugar de n-1, onde o conjunto de dados consiste nos valores 1,2,3, \ldots, n.
Calcule o desvio-padrão da população 1,2,3, \ldots, 100.

Passo 1

O enunciado dá a população formada pelos números 1,2,3,\ldots,n e fornece a fórmula do desvio-padrão dessa população:
\sigma=\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}.
Pede-se que eu calcule o desvio-padrão da população 1,2,3,\ldots,100.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i)}\quad n=100,
\text{(ii)}\quad \sigma=\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}.

Passo 2

O que significa essa fórmula e cada símbolo nela? Vou explicar devagarinho.
  • \sigma é o desvio-padrão da população; é uma medida de dispersão que indica, em média, quanto os elementos da população se afastam da média.
  • n é o número de elementos da população. No nosso caso, a população é \{1,2,\dots,n\}, então n também é o maior número do conjunto.
    A fórmula \displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}} já incorpora o cálculo da variância média dos inteiros de 1 a n (ou seja, é a variância populacional, por isso dividimos por n e não por n-1). Não preciso demonstrar a derivação completa aqui, mas o importante é saber usar a fórmula com n=100.

Passo 3

Agora substituo n=100 na fórmula e faço a simplificação algébrica passo a passo:
\sigma=\sqrt{\frac{100^{2}-1}{12}}.
Calculo 100^{2}-1:
100^{2}-1=10000-1=9999.
Logo
\sigma=\sqrt{\frac{9999}{12}}.

Passo 4

Faço uma simplificação da fração \dfrac{9999}{12}. Note que 9999=3\cdot 3333 e 12=3\cdot4, portanto
\frac{9999}{12}=\frac{3333}{4}.
Assim
\sigma=\sqrt{\frac{3333}{4}}=\frac{\sqrt{3333}}{2}.
Essa é uma forma exata e bem bonita para o desvio-padrão. Agora quero uma aproximação numérica para usar na prova ou para conferir resultados.

Passo 5

Vou obter uma aproximação decimal de \sigma. Como \sigma=\sqrt{833,25} (porque \dfrac{3333}{4}=833,25), posso estimar a raiz quadrada fazendo uma busca entre inteiros e refinando. Primeiro, observo:
28^{2}=784\quad\text{e}\quad 29^{2}=841,
logo \sqrt{833,25} está entre 28 e 29. Faço um refinamento com números com duas casas decimais para facilitar:
Calculo
28,86^{2}=832,8996,
28,87^{2}=833,4769.
Como 833,25 está entre esses dois valores, a raiz está entre 28,86 e 28,87. Agora uso interpolação linear (uma forma simples de refinar sem calculadora): a distância entre os quadrados é
28,87^{2}-28,86^{2}=833,4769-832,8996=0,5773.
A diferença entre o nosso alvo 833,25 e 28,86^{2} é
833,25-832,8996=0,3504.
A fração da distância é \dfrac{0,3504}{0,5773}\approx 0,607. Multiplicando esse fator pelo incremento de 0,01 (que é a largura do intervalo entre 28,86 e 28,87) obtemos aproximadamente 0,00607. Portanto
\sqrt{833,25}\approx 28,86+0,00607=28,86607.

Passo 6

Posso também escrever a forma exata e a aproximação para usar direto na prova. A forma exata obtida foi \displaystyle \sigma=\frac{\sqrt{3333}}{2} e a aproximação numérica, com precisão prática suficiente para prova, é \displaystyle \sigma\approx 28,86607. Vai dar pra conferir direitinho na hora da prova — respira que está ótimo!

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3333}}{2}
\displaystyle 28,86607

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