Encontre, caso exista, o limite abaixo.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2-x}{\sqrt{x^{2}+x}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{2-x}{\sqrt{x^{2}+x}}.
Informações relevantes que temos:
  • A variável x tende a -\infty (ou seja, valores negativos com módulo grande).
  • A expressão no denominador é \sqrt{x^{2}+x}. Para x\to-\infty o termo x^{2}+x é positivo (pois x^{2} domina), então a raiz está bem definida para os x de interesse.
  • Precisamos determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, seu valor numérico.

Passo 2

Vamos analisar as ordens de grandeza de numerador e denominador para x muito negativo.
Observação importante sobre raiz quadrada: para todo x real vale
\sqrt{x^{2}}=|x|.
Quando x\to -\infty temos x<0, então |x|=-x (pois -x>0). Aproveitaremos isso para simplificar a raiz.
Escrevo o denominador extraindo x^{2} debaixo da raiz:
\sqrt{x^{2}+x}=\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\;|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}}.
Para x\to -\infty usamos |x|=-x, portanto
\sqrt{x^{2}+x}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x}} \qquad\text{(para \(x\) negativo)}.

Passo 3

Agora reescrevo o numerador de forma a possibilitar cancelamentos:
2-x = -x+2 = -x\left(1-\frac{2}{x}\right).
Substituindo no quociente e usando a expressão do denominador:
\frac{2-x}{\sqrt{x^{2}+x}} = \frac{-x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}{-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}.
Como estamos tratando x negativo mas com x\neq 0, pode-se cancelar o fator comum -x no numerador e no denominador, obtendo
\frac{2-x}{\sqrt{x^{2}+x}}=\frac{1-\dfrac{2}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}.

Passo 4

Agora calculamos o limite termo a termo. Quando x\to -\infty temos \dfrac{2}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x}\to 0. A função raiz é contínua onde está definida, então
\lim_{x\to -\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)=1, \qquad \lim_{x\to -\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\sqrt{1}=1.
Portanto, passando ao limite na fração obtida:
\lim_{x\to -\infty}\frac{2-x}{\sqrt{x^{2}+x}} = \frac{1}{1}=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados