Encontre, caso exista, o limite abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existir, o valor do limite
Informações relevantes que temos:
- A variável
tende a (ou seja, valores negativos com módulo grande). - A expressão no denominador é
. Para o termo é positivo (pois domina), então a raiz está bem definida para os de interesse. - Precisamos determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, seu valor numérico.
Passo 2
Vamos analisar as ordens de grandeza de numerador e denominador para
muito negativo.
Observação importante sobre raiz quadrada: para todo
real vale
Quando
temos
, então
(pois
). Aproveitaremos isso para simplificar a raiz.
Escrevo o denominador extraindo
debaixo da raiz:
Para
usamos
, portanto
Passo 3
Agora reescrevo o numerador de forma a possibilitar cancelamentos:
Substituindo no quociente e usando a expressão do denominador:
Como estamos tratando
negativo mas com
, pode-se cancelar o fator comum
no numerador e no denominador, obtendo
Passo 4
Agora calculamos o limite termo a termo. Quando
temos
e
. A função raiz é contínua onde está definida, então
Portanto, passando ao limite na fração obtida: